Seja f: A B homomorfismo entre anéis comutativos.
(a) A imagem f(I) é um ideal de B ?
(b) Mostre que f(I+J)=f(I)+f(J).

Passo 1

O enunciado considera um homomorfismo de anéis comutativos
fcolon Ato B
e dois ideais I,Jsubseteq A.
Em (a) queremos saber se ,f(I)subseteq B é um ideal de B.
Em (b) devemos mostrar que a imagem do soma de ideais coincide com a soma das imagens, isto é,
f(I+J);=;f(I)+f(J)

Passo 2

Em geral, se I é ideal de A, então f(I) é ideal de f(A), pois para x,yin f(I) e zin f(A) existe a,a'in I e bin A com x=f(a), y=f(a'), z=f(b), e usa-se a linearidade e multiplicatividade de f. Contudo, para f(I) ser ideal de todo B precisaríamos de fechamento sob multiplicação por elementos de B que não estejam em f(A), o que nem sempre ocorre.

Passo 3

Contraponto concreto: seja
A=Z, B=Q, fcolonZhookrightarrowQ
a inclusão natural e I=2Z. Então
f(I)=2ZsubsetQ
não é ideal de Q, pois Q é corpo e só tem ideais 0 e Q, e 2Z é diferente de ambos.

Passo 4

Para a parte (b), lembramos que por definição
I+J=,i+j : iin I,;jin J
e
f(I)+f(J)=,x+y : xin f(I),;yin f(J)
Queremos provar duas inclusões f(I+J)subseteq f(I)+f(J) e f(I)+f(J)subseteq f(I+J).

Passo 5

Seja uin f(I+J). Então existe win I+J com u=f(w). Como w=i+j para algum iin I,;jin J, pela homomorfia
u=f(i+j)=f(i)+f(j)in f(I)+f(J)
Logo f(I+J)subseteq f(I)+f(J).

Passo 6

Agora seja vin f(I)+f(J). Então v=x+y com x=f(i), y=f(j) para algum iin I,;jin J. Mas então i+jin I+J e
v=f(i)+f(j)=f(i+j)in f(I+J)
Assim f(I)+f(J)subseteq f(I+J).

Resposta

(a) Não: em geral f(I) é ideal apenas em f(A), não necessariamente em B (por exemplo ZhookrightarrowQ, I=2Z).
(b) Vale sempre
f(I+J)=f(I)+f(J)

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