Seja
homomorfismo entre anéis comutativos.
(a) A imagem
é um ideal de
?
(b) Mostre que
.
(a) A imagem
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado considera um homomorfismo de anéis comutativos
e dois ideais .
Em (a) queremos saber se é um ideal de
.
Em (b) devemos mostrar que a imagem do soma de ideais coincide com a soma das imagens, isto é,
e dois ideais
Em (a) queremos saber se
Em (b) devemos mostrar que a imagem do soma de ideais coincide com a soma das imagens, isto é,
Passo 2
Em geral, se
é ideal de
, então
é ideal de
, pois para
e
existe
e
com
,
,
, e usa-se a linearidade e multiplicatividade de
. Contudo, para
ser ideal de todo
precisaríamos de fechamento sob multiplicação por elementos de
que não estejam em
, o que nem sempre ocorre.
Passo 3
Contraponto concreto: seja
a inclusão natural e
. Então
não é ideal de
, pois
é corpo e só tem ideais
e
, e
é diferente de ambos.
Passo 4
Para a parte (b), lembramos que por definição
e
Queremos provar duas inclusões
e
.
Passo 5
Seja
. Então existe
com
. Como
para algum
, pela homomorfia
Logo
.
Passo 6
Agora seja
. Então
com
,
para algum
. Mas então
e
Assim
.
Resposta
(a) Não: em geral
é ideal apenas em
, não necessariamente em
(por exemplo
,
).
(b) Vale sempre
(b) Vale sempre