Mostre que em um anel comutativo com unidade, se I=lang<= arang<= e J=lang<= brang<= então I J=lang<= a brang<=. Dê exemplos onde I J=I cap J e onde I J neq I cap J.

Passo 1

Resumindo, estamos em um anel comutativo com unidade R e temos os ideais principais
;I=lang<= arang<= e ;J=lang<= brang<=.
Queremos mostrar que o produto de ideais
I,J ;=;lsumkxk,yk mid xkin I,;ykin Jr
é igual ao ideal principal lang<= a,brang<=.
Para isso usaremos a definição de produto de ideais e o fato de que lang<= crang<==r,cmid rin R.

Passo 2

Provar que I,Jsubseteq lang<= a,brang<=.
Seja zin I,J. Então existe uma soma finita
z ;=;sumi=1^nxi,yi
com xiin I e yiin J. Como I=lang<= arang<= e J=lang<= brang<=, escrevemos
xi = ri,a, yi = si,b
para certos ri,siin R. Assim
xi,yi = (ri,a),(si,b)= (ri,si),(a,b),
e somando em i obtemos
z = sumi=1^n (ri,si),(a,b) = l(sumi=1^n ri,sir),(a,b),
logo zinlang<= a,brang<=. Isso prova I,Jsubseteqlang<= a,brang<=.

Passo 3

Provar que lang<= a,brang<=subseteq I,J.
Basta notar que ain I e bin J implicam
a,b = acdot b in I,J,
pois é o produto de algo em I por algo em J. Como I,J é ideal, se a,bin I,J então todo múltiplo r,(a,b) também está em I,J. Mas os múltiplos de a,b geram exatamente lang<= a,brang<=. Logo lang<= a,brang<=subseteq I,J.

Passo 4

Exemplo em que I,J = Icap J.
No anel Z, tome
;I=lang<= 2rang<= e ;J=lang<= 3rang<=.
Então
I,J = lang<= 2rang<=;lang<= 3rang<= = lang<= 6rang<=,
e
Icap J = lang<= mcm(2,3)rang<= = lang<= 6rang<=
Portanto I,J = Icap J.

Passo 5

Exemplo em que I,J neq Icap J.
Ainda em Z, tome
;I=lang<= 2rang<= e ;J=lang<= 4rang<=.
Então
I,J = lang<= 2rang<=;lang<= 4rang<= = lang<= 8rang<=,
enquanto
Icap J = lang<= mcm(2,4)rang<= = lang<= 4rang<=
Como lang<= 8rang<= neq lang<= 4rang<=, temos I,J neq Icap J.

Resposta

I,J = lang<= a,brang<=
Exemplo com igualdade: em Z, I=lang<= 2rang<=, J=lang<= 3rang<= I,J = Icap J = lang<= 6rang<=.
Exemplo sem igualdade: em Z, I=lang<= 2rang<=, J=lang<= 4rang<= I,J = lang<= 8rang<=neq Icap J = lang<= 4rang<=.

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