Mostre que em um anel comutativo com unidade, se
e
então
. Dê exemplos onde
e onde
.
Passo 1
Resumindo, estamos em um anel comutativo com unidade
e temos os ideais principais
e
.
Queremos mostrar que o produto de ideais
Queremos mostrar que o produto de ideais
é igual ao ideal principal
.
Para isso usaremos a definição de produto de ideais e o fato de que .
Para isso usaremos a definição de produto de ideais e o fato de que
Passo 2
Provar que
.
Seja . Então existe uma soma finita
Seja
com
e
. Como
e
, escrevemos
para certos
. Assim
e somando em
obtemos
logo
. Isso prova
.
Passo 3
Provar que
.
Basta notar que e
implicam
Basta notar que
pois é o produto de algo em
por algo em
. Como
é ideal, se
então todo múltiplo
também está em
. Mas os múltiplos de
geram exatamente
. Logo
.
Passo 4
Exemplo em que
.
No anel , tome
e
.
Então
No anel
Então
e
Portanto
.
Passo 5
Exemplo em que
.
Ainda em , tome
e
.
Então
Ainda em
Então
enquanto
Como
, temos
.
Resposta
Exemplo com igualdade: em
,
,
dá
.
Exemplo sem igualdade: em ,
,
dá
.
Exemplo sem igualdade: em