[3,0 pts.] 3) Classifique as integrais como divergentes ou convergentes, obtendo seu valor se for convergente.
b) \int_{0}^{\infty} \frac{x}{\left(x{2}+1\right){3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a integral imprópria
I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{3/2}}\,dx
como convergente ou divergente e, se for convergente, calcular seu valor. O conteúdo envolve comportamento assintótico (teste p) e cálculo de integrais por substituição.

Passo 2

Verificamos os possíveis problemas de impropriedade:
  1. Em x=0 a função \frac{x}{(x^{2}+1)^{3/2}} é contínua e vale 0, sem singularidade.
  2. O único ponto crítico é o limite superior x\to\infty, onde precisamos checar se a integral converge.

Passo 3

Para x grande,
\frac{x}{(x^{2}+1)^{3/2}} \;\sim\; \frac{x}{(x^{2})^{3/2}} =\frac{x}{x^{3}} =\frac{1}{x^{2}}.
Como \int_{A}^{\infty} x^{-2}dx converge ( p=2>1), por comparação concluímos que I é convergente.

Passo 4

Calculamos I por substituição. Tomemos
u = x^{2}+1, \quad du = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0, u=1; quando x\to\infty, u\to\infty. Assim,
I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x^{2}+1)^{3/2}}\,dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{\infty} u^{-3/2}\,du.
A primitiva de u^{-3/2} é -2\,u^{-1/2}, então
\frac{1}{2}\Bigl[-2\,u^{-1/2}\Bigr]_{1}^{\infty} = \frac{1}{2}\bigl(0 - (-2\cdot1)\bigr) = \frac{1}{2}\cdot2 =1.

Resposta

A integral é convergente e vale 1.

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