[3,0 pts.] 3) Classifique as integrais como divergentes ou convergentes, obtendo seu valor se for convergente.
b) \int_{0}^{\infty} \frac{x}{\left(x{2}+1\right){3 / 2}} d x
b) \int_{0}^{\infty} \frac{x}{\left(x{2}+1\right){3 / 2}} d x
Passo 1
O enunciado pede para classificar a integral imprópria
como convergente ou divergente e, se for convergente, calcular seu valor. O conteúdo envolve comportamento assintótico (teste
) e cálculo de integrais por substituição.
Passo 2
Verificamos os possíveis problemas de impropriedade:
- Em
a função é contínua e vale , sem singularidade. - O único ponto crítico é o limite superior
, onde precisamos checar se a integral converge.
Passo 3
Para
grande,
Como
converge (
), por comparação concluímos que
é convergente.
Passo 4
Calculamos
por substituição. Tomemos
Quando
,
; quando
,
. Assim,
A primitiva de
é
, então
Resposta
A integral é convergente e vale
.