Determine a solução geral da EDO
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Vamos usar o método padrão: primeiro achamos a solução da parte homogênea e depois uma solução particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a homogênea consideramos a equação característica
Resolvendo,
Passo 3
Como as raízes são complexas conjugadas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Procuramos uma solução particular do tipo polinomial de grau 2:
Então
Substituindo na equação original:
Isso deve coincidir com
, gerando o sistema
Daí obtemos
Logo
Passo 5
A solução geral da EDO é dada pela soma da homogênea com a particular: