Determine a solução geral da EDO y^{\prime \prime}(t)-2 y^{\prime}(t)+3 y(t)=t^{2}+1.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(t)-2y'(t)+3y(t)=t^2+1.
Vamos usar o método padrão: primeiro achamos a solução da parte homogênea e depois uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a homogênea consideramos a equação característica
r^2 -2r +3 = 0.
Resolvendo,
r = \frac{2 \pm \sqrt{4 -12}}{2} = 1 \pm i\sqrt{2}.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas, a solução geral da homogênea é
y_h(t) = e^{t}\bigl(C_1\cos(\sqrt{2}\,t)+C_2\sin(\sqrt{2}\,t)\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Procuramos uma solução particular do tipo polinomial de grau 2:
y_p(t)=At^2+Bt+C.
Então
y_p'(t)=2At+B,\quad y_p''(t)=2A.
Substituindo na equação original:
2A -2(2At+B) +3(At^2+Bt+C) =3At^2 +(-4A+3B)\,t + (2A-2B+3C).
Isso deve coincidir com t^2+1, gerando o sistema
3A=1,\quad -4A+3B=0,\quad 2A-2B+3C=1.
Daí obtemos
A=\tfrac{1}{3},\quad B=\tfrac{4}{9},\quad C=\tfrac{11}{27}.
Logo
y_p(t)=\frac{1}{3}t^2+\frac{4}{9}t+\frac{11}{27}.

Passo 5

A solução geral da EDO é dada pela soma da homogênea com a particular:
y(t)=e^{t}\bigl(C_1\cos(\sqrt{2}\,t)+C_2\sin(\sqrt{2}\,t)\bigr) +\frac{1}{3}t^2+\frac{4}{9}t+\frac{11}{27}.

Resposta

y(t)=e^{t}\bigl(C_1\cos(\sqrt{2}\,t)+C_2\sin(\sqrt{2}\,t)\bigr) +\frac{1}{3}t^2+\frac{4}{9}t+\frac{11}{27}.

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