Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
-2 . y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = 0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a ODE num polinômio em r.

Passo 2

Associamos à equação diferencial a equação característica
r^2 + 3r + 2 = 0.

Passo 3

Fatoramos o polinômio:
r^2 + 3r + 2 = (r + 1)(r + 2) = 0,
logo as raízes são
r_1 = -1,\quad r_2 = -2.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a forma geral da solução é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Substituindo as raízes, obtemos
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.

Exercícios relacionados