(1,5 pt.) 1) Considere a região plana
no
quadrante
limitada pelas curvas
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado dá a região
no primeiro quadrante limitada pelas curvas
e pede o volume do sólido obtido ao girar
em torno da reta
.
O método mais direto é usar fatias verticais e aplicar o método dos discos/anel (washers), definindo raio externo e raio interno
em função de
.
O método mais direto é usar fatias verticais e aplicar o método dos discos/anel (washers), definindo raio externo
Passo 2
Precisamos do intervalo de
onde
existe. As curvas
e
se intersectam quando
Como a região é também limitada por
, o domínio em
é
Passo 3
Para cada
, a fatia vertical vai de
até
. Ao girar em torno de
, temos:
Logo o volume é
Passo 4
Expandindo os quadrados:
Assim
Então
Passo 5
Integramos termo a termo:
Portanto uma antiderivada é
e