(1,5 pt.) 1) Considere a região plana D no 1^{\circ} quadrante (x, y>0) limitada pelas curvas
y=\frac{2}{x}, \quad y=\frac{2}{x^{2}}, \text { e } x=2
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução de D em torno do eixo y=1 / 2.

Passo 1

O enunciado dá a região D no primeiro quadrante limitada pelas curvas
y=\frac{2}{x},\quad y=\frac{2}{x^{2}},\quad x=2
e pede o volume do sólido obtido ao girar D em torno da reta y=\tfrac12.
O método mais direto é usar fatias verticais e aplicar o método dos discos/anel (washers), definindo raio externo R(x) e raio interno r(x) em função de x.

Passo 2

Precisamos do intervalo de x onde D existe. As curvas y=2/x e y=2/x^2 se intersectam quando
\frac{2}{x} = \frac{2}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad x = 1
Como a região é também limitada por x=2, o domínio em x é
1 \le x \le 2.

Passo 3

Para cada x\in[1,2], a fatia vertical vai de y_{\rm inf}=2/x^2 até y_{\rm sup}=2/x. Ao girar em torno de y=\tfrac12, temos:
R(x) = \bigl(2/x\bigr) - \tfrac12, \qquad r(x) = \bigl(2/x^2\bigr) - \tfrac12.
Logo o volume é
V = \int_{x=1}^{2} \pi\bigl(R(x)^2 - r(x)^2\bigr)\,dx.

Passo 4

Expandindo os quadrados:
R(x)^2 = \Bigl(\frac{2}{x}-\tfrac12\Bigr)^{2} = \frac{4}{x^{2}} - \frac{2}{x} + \frac14,
r(x)^2 = \Bigl(\frac{2}{x^{2}}-\tfrac12\Bigr)^{2} = \frac{4}{x^{4}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac14.
Assim
R(x)^2 - r(x)^2 = \Bigl(\frac{4}{x^{2}} - \frac{2}{x} + \tfrac14\Bigr) - \Bigl(\frac{4}{x^{4}} - \frac{2}{x^{2}} + \tfrac14\Bigr) = \frac{6}{x^{2}} - \frac{2}{x} - \frac{4}{x^{4}}.
Então
V = \pi \int_{1}^{2} \Bigl(\frac{6}{x^{2}} - \frac{2}{x} - \frac{4}{x^{4}}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int \frac{6}{x^{2}}\,dx = -\frac{6}{x}, \quad \int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln x, \quad \int -\frac{4}{x^{4}}\,dx = \frac{4}{3x^{3}}.
Portanto uma antiderivada é
F(x) = -\frac{6}{x} - 2\ln x + \frac{4}{3x^{3}},
e
V = \pi\bigl[F(2)-F(1)\bigr] = \pi\Bigl(\frac{11}{6} - 2\ln 2\Bigr).

Resposta

V = \pi\Bigl(\frac{11}{6} - 2\ln 2\Bigr).

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