Exercício 1. (4,0 Pontos) Calcule as seguintes integrais.
\int_{0}^{1 / 2} x \cos (\pi x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1/2} x \cos\bigl(\pi x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções a serem diferenciadas e integradas conforme a estratégia de partes:
u = x,\quad dv = \cos\bigl(\pi x\bigr)\,dx.
Então
du = dx, \qquad v = \int \cos\bigl(\pi x\bigr)\,dx = \frac{1}{\pi}\,\sin\bigl(\pi x\bigr).

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes na integral indefinida
\int x\cos\bigl(\pi x\bigr)\,dx = x\cdot\frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi x\bigr) - \int \frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi x\bigr)\,dx.
Para a segunda parte,
\int \sin\bigl(\pi x\bigr)\,dx = -\frac{1}{\pi}\cos\bigl(\pi x\bigr).
Logo, a primitiva geral é
\int x\cos\bigl(\pi x\bigr)\,dx = \frac{x}{\pi}\sin\bigl(\pi x\bigr) + \frac{1}{\pi^2}\cos\bigl(\pi x\bigr) + C.

Passo 4

Agora avaliamos no intervalo de 0 a 1/2:
\Bigl[\frac{x}{\pi}\sin(\pi x)+\frac{1}{\pi^2}\cos(\pi x)\Bigr]_{0}^{1/2}.
Para x=\tfrac12:
\sin\bigl(\pi/2\bigr)=1, \quad \cos\bigl(\pi/2\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1/2}{\pi}\cdot1 + \frac{1}{\pi^2}\cdot0 = \frac{1}{2\pi}.
Para x=0:
\sin(0)=0, \quad \cos(0)=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{0}{\pi}\cdot0 + \frac{1}{\pi^2}\cdot1 = \frac{1}{\pi^2}.
Subtraindo,
\int_{0}^{1/2} x\cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{2\pi} - \frac{1}{\pi^2}.

Resposta

\frac{1}{2\pi} - \frac{1}{\pi^2} \;=\; \frac{\pi - 2}{2\pi^2}.

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