5ª Questão
(1,5 pontos) Dado o ponto P=(-1,1,2) e o plano \pi: 2 x+y+z=0, determinar:
a) equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular a \pi.
b) a distância de P em relação a \pi.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o ponto P=(-1,1,2) e o plano \pi\colon 2x+y+z=0:
– (a) as equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular a \pi, e
– (b) a distância de P até \pi.
Conteúdo: geometria analítica em \mathbb{R}^3. Vamos precisar do vetor normal ao plano, das equações paramétricas de reta e da fórmula da distância de ponto a plano.

Passo 2

Para qualquer plano dado por ax+by+cz+d=0, o vetor \mathbf{n}=(a,b,c) é normal ao plano.
No nosso caso, a equação é
2x + y + z = 0,
logo o vetor normal é
\mathbf{n} = (2,1,1).

Passo 3

Uma reta perpendicular ao plano deve ter direção paralela ao vetor normal \mathbf{n}=(2,1,1) e passar por P=(-1,1,2).
As equações paramétricas ficam, tomando parâmetro t\in\mathbb{R}:
\begin{cases} x = -1 + 2t,\\\ y = 1 + t,\\\ z = 2 + t. \end{cases}

Passo 4

A distância de um ponto \bigl(x_0,y_0,z_0\bigr) até o plano ax+by+cz+d=0 é
\mathrm{dist} =\frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.
Aqui a=2, b=1, c=1 e d=0, e o ponto é \bigl(-1,1,2\bigr).

Passo 5

Calculando o numerador:
2\cdot(-1) + 1\cdot1 + 1\cdot2 + 0 = -2 + 1 + 2 = 1.
O denominador é
\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}.
Portanto,
\mathrm{dist} =\frac{|1|}{\sqrt{6}} =\frac{1}{\sqrt{6}}.

Resposta

a) \begin{cases} x = -1 + 2t,\\\ y = 1 + t,\\\ z = 2 + t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
b) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}.

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