Questão: ( 2,5 pontos) Em cada item faça o que se pede:
(1,2 pontos) Sejam as matrizes A=\left(a_{i j}\right)_{77 \times 2} e B=\left(b_{i j}\right)_{2 \times 97}, definidas por:
a_{i j}=\left\{\begin{aligned} 2^{i}, & \text { se } j \text { é par } \\\\ 2 i-j, & \text { se } j \text { é ímpar }\end{aligned} \quad\right.ééí e \quad b_{i j}=\frac{1+(-2)^{i}}{j}
Calcule o elemento da linha 21 e coluna 17 da matriz (A B)^{t}.

Passo 1

O enunciado define A\) como matriz \(77\times2\) com \[a_{ij} = \begin{cases} 2^i, & j\text{ par},\\\\ 2i - j, & j\text{ ímpar}, \end{cases}
e B\] como matriz \(2\times97 com
b_{ij} = \frac{1 + (-2)^i}{j}.
Pede-se o elemento da linha 21 e coluna 17 de (AB)^{t}. Vamos usar a propriedade de transposta e a definição de produto de matrizes.

Passo 2

Usamos a propriedade
(AB)^{t}_{21,17} \;=\;(AB)_{17,21},
pois para qualquer matriz M vale (M^t)_{i,j}=M_{j,i}. Logo precisamos achar o elemento da linha 17, coluna 21 de AB.

Passo 3

Pela definição de produto de matrizes,
(AB)_{17,21} \;=\;\sum_{k=1}^{2}a_{17,k}\,b_{k,21}.

Passo 4

Calculemos a_{17,1} e a_{17,2}:
a_{17,1} = 2\cdot17 - 1 = 33, \qquad a_{17,2} = 2^{17} = 131072.

Passo 5

Agora b_{1,21} e b_{2,21}:
b_{1,21} = \frac{1 + (-2)^1}{21} = \frac{1 - 2}{21} = -\frac{1}{21}, \qquad b_{2,21} = \frac{1 + (-2)^2}{21} = \frac{1 + 4}{21} = \frac{5}{21}.

Passo 6

Substituindo na soma:
(AB)_{17,21} = 33\!\bigl(-\tfrac{1}{21}\bigr) \;+\;131072\!\bigl(\tfrac{5}{21}\bigr) = \frac{-33 + 131072\cdot5}{21} = \frac{-33 + 655360}{21} = \frac{655327}{21}.

Resposta

\displaystyle \frac{655327}{21}

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