Questão: ( 2,5 pontos) Em cada item faça o que se pede:
( 1,3 pontos) Determine, se possível, os valores reais das variáveis x e y que tornam antissimétrica a matriz C=\left(\begin{array}{ccc}x & 2 & -1 \\\ y^{2}-3 y & x^{2} & y \\\\ 1 & -y & -x^{3}\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede os valores reais de x e y que tornam a matriz
C=\begin{pmatrix} x & 2 & -1\\\ y^{2}-3y & x^{2} & y\\\\ 1 & -y & -x^{3} \end{pmatrix}
antissimétrica, ou seja, que satisfaça
C^{T}=-C.
O conteúdo aqui é propriedades de matrizes antissimétricas: precisamos impor que todos os elementos diagonais sejam zero e que cada elemento fora da diagonal seja o negativo do seu simétrico.

Passo 2

Para C ser antissimétrica valem duas condições:
  1. Todas as entradas da diagonal devem ser zero, isto é,
C_{11}=0,\quad C_{22}=0,\quad C_{33}=0.
  1. Para i<j, deve ocorrer
C_{ij}=-\,C_{ji}.

Passo 3

Impondo as entradas da diagonal iguais a zero:
C_{11}=x=0,
C_{22}=x^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad x=0,
C_{33}=-x^{3}=0\quad\Longrightarrow\quad 0=0\\ (\text{automático se }x=0).á
Logo x=0.

Passo 4

Agora a condição C_{12}=-C_{21}
2 = -\bigl(y^{2}-3y\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y^{2}-3y+2=0 \quad\Longrightarrow\quad (y-1)(y-2)=0
\Longrightarrow\quad y=1\quad\text{ou}\quad y=2.

Passo 5

Verificamos que as outras duas condições fora da diagonal já são satisfeitas sem impor nada extra:
  • C_{13}=-C_{31} é -1 = -1.
  • C_{23}=-C_{32} é y = -(-y), que vale para qualquer y.

Resposta

(x,y) = (0,1)\quad\text{ou}\quad (0,2).

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