Questão: ( 2,5 pontos) Em cada item faça o que se pede:
( 1,3 pontos) Determine, se possível, os valores reais das variáveis x e y que tornam antissimétrica a matriz C=\left(\begin{array}{ccc}x & 2 & -1 \\\ y^{2}-3 y & x^{2} & y \\\\ 1 & -y & -x^{3}\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado pede os valores reais de x e y que tornam a matriz
O conteúdo aqui é propriedades de matrizes antissimétricas: precisamos impor que todos os elementos diagonais sejam zero e que cada elemento fora da diagonal seja o negativo do seu simétrico.
Passo 2
Para C ser antissimétrica valem duas condições:
Todas as entradas da diagonal devem ser zero, isto é,
C_{11}=0,\quad C_{22}=0,\quad C_{33}=0.
Para i<j, deve ocorrer
C_{ij}=-\,C_{ji}.
Passo 3
Impondo as entradas da diagonal iguais a zero:
C_{11}=x=0,
C_{22}=x^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad x=0,
C_{33}=-x^{3}=0\quad\Longrightarrow\quad 0=0\\ (\text{automático se }x=0).á