3² Questão:
Seja
.
(a) Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de função
.
(b) Encontre, caso existam, os intervalos onde a função
é crescente
onde decrescente.
, encontre, caso existam, os pontos de máximo e de mínimo relativo da função
.
(c) Encontre, caso existam, os intervalos onde o gráfico da função
tem concavidade para cima
onde tem concavidade para baixo. E, encontre, caso existam, os pontos de inflexão.
(d) Encontre as interseções com os eixos coordenados.
(e) Usando todas as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico da função f.
Seja
(a) Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de função
(b) Encontre, caso existam, os intervalos onde a função
(c) Encontre, caso existam, os intervalos onde o gráfico da função
(d) Encontre as interseções com os eixos coordenados.
(e) Usando todas as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico da função f.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
(a) assíntotas horizontais e verticais;
(b) intervalos de crescimento e decrescimento e extremos locais;
(c) concavidade e pontos de inflexão;
(d) interseções com os eixos coordenados;
(e) esboço do gráfico.
Para isso usaremos limites e as derivadas primeira e segunda de .
(a) assíntotas horizontais e verticais;
(b) intervalos de crescimento e decrescimento e extremos locais;
(c) concavidade e pontos de inflexão;
(d) interseções com os eixos coordenados;
(e) esboço do gráfico.
Para isso usaremos limites e as derivadas primeira e segunda de
Passo 2
Assíntota vertical surge onde o denominador é zero, ou seja em
. Calculamos
logo
é assíntota vertical.
Para a assíntota horizontal, fazemos
Para a assíntota horizontal, fazemos
portanto
é assíntota horizontal.
Passo 3
Derivamos por regra do quociente:
O sinal de
é dado por
e
:
- Em
: e , logo (decrescente). - Em
: e , logo (crescente). - Em
: e , logo (decrescente).
Comomuda de positivo para negativo em , há um máximo local em , com
Passo 4
Derivamos novamente:
O denominador é sempre positivo (exceto em
que está fora do domínio), então o sinal de
vem de
:
- Se
, então , concavidade para baixo. - Se
, então , concavidade para cima.
Há ponto de inflexão em, com
Passo 5
Interseção com o eixo
:
logo
.
Interseção com o eixo ocorre quando
, ou seja
, dando
e
.
Interseção com o eixo
Passo 6
Esboço do gráfico de
:
- Assíntotas em
(vertical) e (horizontal). - Para
: é decrescente e concava para baixo, vai de quando , cruza em , chega a e vai a em . - Para
: sai de em , é crescente e concava para baixo, cruza em e atinge o máximo . - Para
: é decrescente e concava para baixo, descendo de até mudar de concavidade. - Para
: continua decrescente mas concava para cima, aproximando-se de por cima quando . - Há ponto de inflexão em
.
Resposta
(a) Assíntotas: vertical
, horizontal
.
(b) Monótona: decrescente em , crescente em
, decrescente em
. Máximo local em
, sem mínimo local.
(c) Concavidade: para baixo em e
, para cima em
. Inflexão em
.
(d) Interseções: com o eixo
,
e
com o eixo
.
(e) Gráfico conforme descrito no esboço acima.
(b) Monótona: decrescente em
(c) Concavidade: para baixo em
(d) Interseções:
(e) Gráfico conforme descrito no esboço acima.