3² Questão:
Seja f(x)=\frac{x^{2}-4}{(x-1)^{2}}.
(a) Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de função f.
(b) Encontre, caso existam, os intervalos onde a função f é crescente e onde decrescente. E, encontre, caso existam, os pontos de máximo e de mínimo relativo da função f.
(c) Encontre, caso existam, os intervalos onde o gráfico da função f tem concavidade para cima e onde tem concavidade para baixo. E, encontre, caso existam, os pontos de inflexão.
(d) Encontre as interseções com os eixos coordenados.
(e) Usando todas as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico da função f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{x^{2}-4}{(x-1)^{2}}
e pede:
(a) assíntotas horizontais e verticais;
(b) intervalos de crescimento e decrescimento e extremos locais;
(c) concavidade e pontos de inflexão;
(d) interseções com os eixos coordenados;
(e) esboço do gráfico.
Para isso usaremos limites e as derivadas primeira e segunda de f.

Passo 2

Assíntota vertical surge onde o denominador é zero, ou seja em x=1. Calculamos
\lim_{x\to1^\pm}f(x) =\lim_{x\to1^\pm}\frac{x^{2}-4}{(x-1)^{2}} =\frac{1-4}{0^+}=-\infty,
logo x=1 é assíntota vertical.
Para a assíntota horizontal, fazemos
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}-4}{(x-1)^{2}} =1,
portanto y=1 é assíntota horizontal.

Passo 3

Derivamos por regra do quociente:
f'(x) =\frac{2x\,(x-1)^{2}-(x^{2}-4)\,2(x-1)}{(x-1)^{4}} =\frac{2(x-1)(4-x)}{(x-1)^{4}} =\frac{2(4-x)}{(x-1)^{3}}.
O sinal de f' é dado por \mathrm{sgn}(4-x) e \mathrm{sgn}((x-1)^{3}):
  • Em (-\infty,1): 4-x>0 e (x-1)^{3}<0, logo f'<0 (decrescente).
  • Em (1,4): 4-x>0 e (x-1)^{3}>0, logo f'>0 (crescente).
  • Em (4,\infty): 4-x<0 e (x-1)^{3}>0, logo f'<0 (decrescente).
    Como f' muda de positivo para negativo em x=4, há um máximo local em x=4, com
f(4)=\frac{16-4}{(4-1)^{2}}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}.

Passo 4

Derivamos novamente:
f''(x) =2\,\frac{2x-11}{(x-1)^{4}}.
O denominador é sempre positivo (exceto em x=1 que está fora do domínio), então o sinal de f'' vem de 2x-11:
  • Se x<\tfrac{11}{2}, então 2x-11<0, concavidade para baixo.
  • Se x>\tfrac{11}{2}, então 2x-11>0, concavidade para cima.
    Há ponto de inflexão em x=\tfrac{11}{2}, com
f\bigl(\tfrac{11}{2}\bigr) =\frac{\bigl(\tfrac{11}{2}\bigr)^{2}-4}{(\tfrac{11}{2}-1)^{2}} =\frac{\tfrac{121}{4}-4}{(\tfrac{9}{2})^{2}} =\frac{\tfrac{105}{4}}{\tfrac{81}{4}} =\frac{35}{27}.

Passo 5

Interseção com o eixo y x=0:
f(0)=\frac{0-4}{1}=-4,
logo (0,-4).
Interseção com o eixo x f(x)=0 ocorre quando x^{2}-4=0, ou seja x=\pm2, dando (-2,0) e (2,0).

Passo 6

Esboço do gráfico de f:
  • Assíntotas em x=1 (vertical) e y=1 (horizontal).
  • Para x<1: f é decrescente e concava para baixo, vai de y\to1^- quando x\to-\infty, cruza em (-2,0), chega a (0,-4) e vai a -\infty em x\to1^-.
  • Para 1<x<4: f sai de -\infty em x\to1^+, é crescente e concava para baixo, cruza em (2,0) e atinge o máximo (4,\tfrac{4}{3}).
  • Para 4<x<\tfrac{11}{2}: f é decrescente e concava para baixo, descendo de \tfrac{4}{3} até mudar de concavidade.
  • Para x>\tfrac{11}{2}: f continua decrescente mas concava para cima, aproximando-se de y=1 por cima quando x\to\infty.
  • Há ponto de inflexão em \bigl(\tfrac{11}{2},\tfrac{35}{27}\bigr).

Resposta

(a) Assíntotas: vertical x=1, horizontal y=1.
(b) Monótona: decrescente em (-\infty,1), crescente em (1,4), decrescente em (4,\infty). Máximo local em \bigl(4,\tfrac{4}{3}\bigr), sem mínimo local.
(c) Concavidade: para baixo em (-\infty,1) e (1,\tfrac{11}{2}), para cima em (\tfrac{11}{2},\infty). Inflexão em \bigl(\tfrac{11}{2},\tfrac{35}{27}\bigr).
(d) Interseções: (0,-4) com o eixo y, (-2,0) e (2,0) com o eixo x.
(e) Gráfico conforme descrito no esboço acima.

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