Determine as integrais.
(13%) \int 2 x \operatorname{sen}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int 2x\sin(3x)\,dx
O conteúdo necessário é integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as partes de modo a simplificar a integral: u = 2x e dv = \sin(3x)\,dx.
Calculamos
du = 2\,dx, \qquad v = \int \sin(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x).

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int 2x\sin(3x)\,dx = u\,v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
u\,v = 2x\!\times\!\Bigl(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\Bigr) = -\frac{2x}{3}\cos(3x),
\int v\,du = \int \Bigl(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\Bigr)\,2\,dx = -\frac{2}{3}\int \cos(3x)\,dx = -\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\sin(3x) = -\frac{2}{9}\sin(3x).

Passo 4

Reunindo as parcelas:
\int 2x\sin(3x)\,dx = -\frac{2x}{3}\cos(3x)\;-\;\bigl(-\tfrac{2}{9}\sin(3x)\bigr) = -\frac{2x}{3}\cos(3x) + \frac{2}{9}\sin(3x) + C.

Resposta

-\frac{2x}{3}\cos(3x) + \frac{2}{9}\sin(3x) + C

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