Determine a derivada de:
F(x)=\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+2\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=\frac{x^{2}}{\bigl(x^{2}+2\bigr)^{3}}.
Aqui vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para diferenciar funções do tipo x^{2} multiplicado por (x^{2}+2)^{-3}.

Passo 2

Reescrevendo
F(x)=x^{2}\,\bigl(x^{2}+2\bigr)^{-3},
aplicamos a regra do produto (f\,g)'=f'\,g+f\,g'.
Definimos
f(x)=x^{2},\quad g(x)=\bigl(x^{2}+2\bigr)^{-3}.
Então
f'(x)=2x,
e, pela regra da cadeia,
g'(x) = -3\bigl(x^{2}+2\bigr)^{-4}\cdot(2x) = -6x\,\bigl(x^{2}+2\bigr)^{-4}.
Logo
F'(x)=2x\,\bigl(x^{2}+2\bigr)^{-3} + x^{2}\,\bigl(-6x\,\bigl(x^{2}+2\bigr)^{-4}\bigr).

Passo 3

Colocando fator comum 2x\,\bigl(x^{2}+2\bigr)^{-4} em ambos os termos, temos
F'(x) =2x\,\bigl(x^{2}+2\bigr)^{-4}\Bigl[(x^{2}+2) - 3x^{2}\Bigr].
Dentro do colchete
(x^{2}+2) - 3x^{2} = 2 - 2x^{2} = 2\,(1 - x^{2}),
então
F'(x)=2x\,\bigl(x^{2}+2\bigr)^{-4}\cdot2\,(1 - x^{2}) =4x\,(1 - x^{2})\,\bigl(x^{2}+2\bigr)^{-4}.

Passo 4

Voltando à forma de fração, obtemos
F'(x)=\frac{4x\,(1 - x^{2})}{\bigl(x^{2}+2\bigr)^{4}}.

Resposta

F'(x)=\frac{4x\,(1 - x^{2})}{(x^{2}+2)^{4}}.

Exercícios relacionados