Determine as integrais.
(12%) \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos ^{3}(x) \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^{3}(x)\,\sin(x)\,dx.
O conteúdo é integração por substituição, explorando a relação entre \sin(x)\,dx e a derivada de \cos(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos(x), \quad du = -\sin(x)\,dx \;\Longrightarrow\; \sin(x)\,dx = -du.
Também mudamos os limites de integração:
quando x=0, u=\cos(0)=1;
quando x=\tfrac{\pi}{6}, u=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral obtemos
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^{3}(x)\,\sin(x)\,dx = \int_{u=1}^{u=\frac{\sqrt{3}}{2}} u^{3}\,(-du) = -\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u^{3}\,du.

Passo 4

Calculamos a antiderivada de u^{3}:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4}.
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-\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u^{3}\,du = -\Bigl[\frac{u^{4}}{4}\Bigr]_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\Bigl(\frac{\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}\Bigr).

Passo 5

Calculamos \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^{4}:
\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^{4} = \frac{(\sqrt{3})^{4}}{2^{4}} = \frac{9}{16}.
Substituindo,
-\Bigl(\frac{9/16}{4} - \frac{1}{4}\Bigr) = -\Bigl(\frac{9}{64} - \frac{1}{4}\Bigr) = -\Bigl(\frac{9}{64} - \frac{16}{64}\Bigr) = -\bigl(-\tfrac{7}{64}\bigr) = \frac{7}{64}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{64}

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