Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (a x)}{x^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(ax)}{x^{2}}.
Este é um limite do tipo 0/0, e podemos resolver usando o critério de L’Hôpital (derivação de numerador e denominador).

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: ao substituir x=0,
1-\cos(a\cdot 0)=1-1=0 \quad\text{e}\quad 0^{2}=0,
logo temos 0/0.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador separadamente:
\frac{d}{dx}\bigl(1-\cos(ax)\bigr)=a\sin(ax),
\frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(ax)}{x^{2}} =\lim_{x\to 0}\frac{a\sin(ax)}{2x}.

Passo 4

Reescrevemos o quociente para usar \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1:
\frac{a\sin(ax)}{2x} =\frac{a}{2}\,\frac{\sin(ax)}{x} =\frac{a}{2}\,\frac{\sin(ax)}{ax}\;a.
Como \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{ax}=1, segue que
\lim_{x\to 0}\frac{a\sin(ax)}{2x} =\frac{a}{2}\cdot a =\frac{a^{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{a^{2}}{2}

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