1. T\left(a+b x+c x^{2}\right)=b+(a+c) x+(-b+2 c) x^{2}

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R}), \qquad T\bigl(a + b x + c x^{2}\bigr) = b + (a + c)\,x + (-b + 2c)\,x^{2}.
Vamos encontrar a matriz de T na base padrão
\mathcal{B} = \{1,\,x,\,x^{2}\}.

Passo 2

Calcular T(1). Aqui a=1, b=0, c=0, então
T(1) = T(1 + 0\,x + 0\,x^{2}) = 0 + (1+0)\,x + (-0+0)\,x^{2} = x.
Em coordenadas na base \mathcal{B},
\>[T(1)]_{\mathcal{B}} = (0,\,1,\,0)^{T}.

Passo 3

Calcular T(x). Aqui a=0, b=1, c=0, logo
T(x) = T(0 + 1\,x + 0\,x^{2}) = 1 + (0+0)\,x + (-1+0)\,x^{2} = 1 - x^{2}.
Em coordenadas,
\>[T(x)]_{\mathcal{B}} = (1,\,0,\,-1)^{T}.

Passo 4

Calcular T(x^{2}). Aqui a=0, b=0, c=1, daí
T(x^{2}) = T(0 + 0\,x + 1\,x^{2}) = 0 + (0+1)\,x + (-0+2)\,x^{2} = x + 2\,x^{2}.
Em coordenadas,
\>[T(x^{2})]_{\mathcal{B}} = (0,\,1,\,2)^{T}.

Passo 5

Juntando as colunas formadas por [T(1)]_{\mathcal{B}},\,[T(x)]_{\mathcal{B}},\,[T(x^{2})]_{\mathcal{B}}, obtemos a matriz de T em \mathcal{B}:
[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

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