[5] Seja o operador T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} dado por T(x, y)=(x+2 y,-3 x+6 y). Responda a cada um dos ite abaixo:
(a) (1,0 ponto) determine a matriz do operador linear na base canônica de \mathbb{R}^{2};
(b) (1,0 ponto) determine os autovalores e autovetores de T.
Passo 1
O enunciado pede a matriz de um operador linear \,T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, dado por
T(x,y) = (x + 2y,\,-3x +6y)
na base canônica de \mathbb{R}^2 e, em seguida, os autovalores e autovetores de T. O conteúdo envolve representação matricial de operadores lineares e cálculo de autovalores/autovetores.
Passo 2
Para achar a matriz de T na base canônica \{e_1=(1,0),\,e_2=(0,1)\}, aplicamos T a cada vetor base: