[5] Seja o operador T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} dado por T(x, y)=(x+2 y,-3 x+6 y). Responda a cada um dos ite abaixo:
(a) (1,0 ponto) determine a matriz do operador linear na base canônica de \mathbb{R}^{2};
(b) (1,0 ponto) determine os autovalores e autovetores de T.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de um operador linear \,T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, dado por
T(x,y) = (x + 2y,\,-3x +6y)
na base canônica de \mathbb{R}^2 e, em seguida, os autovalores e autovetores de T. O conteúdo envolve representação matricial de operadores lineares e cálculo de autovalores/autovetores.

Passo 2

Para achar a matriz de T na base canônica \{e_1=(1,0),\,e_2=(0,1)\}, aplicamos T a cada vetor base:
T(1,0) = (1 + 2\cdot0,\,-3\cdot1 + 6\cdot0) = (1,-3),
T(0,1) = (0 + 2\cdot1,\,-3\cdot0 + 6\cdot1) = (2,6).
Esses resultados formam as colunas da matriz de T. Assim,
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -3 & 6\end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico de A é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\\\ -3 & 6-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(6-\lambda) - (2\cdot -3) = \lambda^2 -7\lambda +12.
Igualando a zero,
\lambda^2 -7\lambda +12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 3 \quad\text{ou}\quad \lambda = 4.

Passo 4

Para cada autovalor, resolvemos (A - \lambda I)v=0:
Para \lambda = 4:
(A - 4I)=\begin{pmatrix}-3 & 2\\\\ -3 & 2\end{pmatrix}, -3x +2y=0\implies y=\tfrac32x.
Autovetores: todos os múltiplos de (2,3).
Para \lambda = 3:
(A - 3I)=\begin{pmatrix}-2 & 2\\\\ -3 & 3\end{pmatrix}, -2x+2y=0\implies y=x.
Autovetores: todos os múltiplos de (1,1).

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -3 & 6\end{pmatrix}
(b) Autovalores e autovetores: \lambda=4, autovetores t\,(2,3), t\neq0. \lambda=3, autovetores s\,(1,1), s\neq0.

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