Questão 3. (1,5 ponto ) Os vetores são vetores que determinam um paralelepípedo. Sabendo que é ortogonal a e simultaneamente, determine o volume desse paralelepípedo.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos apresenta três vetores: , e . A questão pede para determinar o volume do paralelepípedo formado por esses vetores, sabendo que o vetor é ortogonal tanto a quanto a (onde é um escalar). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa que é ortogonal a e a . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Então, temos duas equações:
Como é um escalar, podemos simplificar a segunda equação para .
Passo 3
Agora, vamos escrever como , já que ainda não sabemos seus componentes. Então, temos:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar as componentes de .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Como queremos um vetor qualquer que satisfaça as condições, podemos escolher (já que o volume não depende da magnitude específica de , mas sim da relação entre os vetores). Assim, .
Passo 5
Agora que temos os três vetores , e , podemos calcular o volume do paralelepípedo formado por eles usando a fórmula do produto misto:
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial .
Passo 6
Para calcular o produto vetorial, usamos o determinante: