Questão 3. (1,5 ponto ) Os vetores v=(-1,0,3), w=(2,1,-2) e u são vetores que determinam um paralelepípedo. Sabendo que u é ortogonal a v e a w simultaneamente, determine o volume desse paralelepípedo.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta três vetores: v=(-1,0,3), w=(2,1,-2) e u. A questão pede para determinar o volume do paralelepípedo formado por esses vetores, sabendo que o vetor u é ortogonal tanto a v quanto a aw (onde a é um escalar). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que u é ortogonal a v e a aw. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Então, temos duas equações:
  1. u cdot v = 0
  2. u cdot aw = 0
Como a é um escalar, podemos simplificar a segunda equação para u cdot w = 0.

Passo 3

Agora, vamos escrever u como (u1, u2, u3), já que ainda não sabemos seus componentes. Então, temos:
  1. u cdot v = (-1)u1 + 0 cdot u2 + 3u3 = -u1 + 3u3 = 0
  2. u cdot w = 2u1 + 1u2 + (-2)u3 = 2u1 + u2 - 2u3 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar as componentes de u.
Da primeira equação:
-u1 + 3u3 = 0 Rightarrow u1 = 3u3
Substituindo u1 na segunda equação:
2(3u3) + u2 - 2u3 = 0 Rightarrow 6u3 + u2 - 2u3 = 0 Rightarrow 4u3 + u2 = 0 Rightarrow u2 = -4u3
Então, u = (3u3, -4u3, u3) = u3(3, -4, 1)
Como queremos um vetor qualquer que satisfaça as condições, podemos escolher u3 = 1 (já que o volume não depende da magnitude específica de u, mas sim da relação entre os vetores). Assim, u = (3, -4, 1).

Passo 5

Agora que temos os três vetores v, w e u, podemos calcular o volume do paralelepípedo formado por eles usando a fórmula do produto misto:
V = |u cdot (v times w)|
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v times w.

Passo 6

Para calcular o produto vetorial, usamos o determinante:
v times w = i & j & k -1 & 0 & 3 2 & 1 & -2
Calculando:
i(0 cdot (-2) - 3 cdot 1) - j((-1) cdot (-2) - 3 cdot 2) + k((-1) cdot 1 - 0 cdot 2)
Simplificando:
i(0 + (-3)) - j(2 - 6) + k(-1 - 0)
v times w = (-3)i + 4j -1k = (-3, 4, -1)

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot (v times w):
u = (3, -4, 1)
v times w = (-3, 4, -1)
Então:
3 cdot (-3) + (-4) cdot 4 + 1 cdot (-1) = -9 -16 -1 = -26
O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse resultado:
V = |-26| = 26

Resposta

O volume do paralelepípedo é 26 unidades cúbicas.

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