32 Determinar a interseção da reta r:lx-2 y-2 z+2=0 2 x+y-z=0 com o plano pi : x+3 y+z-2=0.

Passo 1

O enunciado pede a interseção da reta
com o plano e depois verificar quais pontos dessa parametrização satisfazem a equação de .

Passo 2

Para parametrizar r, tomamos z = t como parâmetro. Da segunda equação de r,
2x + y - z = 0 Longrightarrow y = z - 2x = t - 2x
Substituindo esse y na primeira equação,
x - 2(t - 2x) - 2t + 2 = 0 Longrightarrow x - 2t + 4x - 2t + 2 = 0 Longrightarrow 5x - 4t + 2 = 0 Longrightarrow x = 4t - 25
Então
y = t - 24t - 25 = 5t - 8t + 45 = -3t + 45

Passo 3

Montamos a forma vetorial da reta r:
(x,y,z) = l(tfrac-25,,tfrac45,,0r) + tl(tfrac45,,-tfrac35,,1r), tinR

Passo 4

Substituímos essa parametrização na equação de picolon x+3y+z-2=0:
4t-25 +3cdot-3t+45 + t -2 =0
Multiplicando tudo por 5:
4t - 2 +3(-3t+4) +5t -10 = 4t -2 -9t +12 +5t -10 = 0,
ou seja, dá 0=0 para todo t. Isso mostra que qualquer ponto de r satisfaz pi.

Passo 5

Como toda a reta r está contida em pi (o parâmetro t é livre e sempre satisfaz a equação de pi), a interseção entre r e pi é a própria reta r.

Resposta

A interseção é a reta r toda, ou seja,
r cap pi = r

Exercícios relacionados