(3,0 pts) Considere a laminação a quente de chapa grossa de aço numa sequência de 3 passes com a mesma deformação por passe. Dados: h_{o}=12,0 \mathrm{~cm}, h_{f}=3,0 \mathrm{~cm}, C=240 \mathrm{MPa} e m=0,025. Velocidade dos cilindros: 30 rpm . Raio do cilindro: 250 mm . Use Q_{s}=1,7.
a) Calcule a força e a potência em cada passe.
b) Calcule o tempo e a energia consumida para a produção de 10000 Ton de chapas com 2,0 \mathrm{~m} de largura.
c) Quantas chapas 2 \times 2 \mathrm{~m} 2 são fabricadas nesse tempo?

Passo 1

O enunciado trata da laminação a quente em três passes com a mesma deformação por passe. Temos a espessura inicial h_{0}=12{,}0,cm e final h_{f}=3{,}0,cm, o fluxo de escoamento C=240,MPa, o expoente m=0{,}025, o fator de forma Q_{s}=1{,}7, rolamento a 30,rpm com raio R=250,mm e largura da chapa b=2{,}0,m.
Vamos calcular:
a) a força F e a potência P em cada passe;
b) o tempo total e a energia consumida para fabricar 10\,000,t de chapas de 2{,}0,m de largura;
c) quantas chapas de 2\times2, m^{2} cabem nesse tempo.

Passo 2

Como cada passe tem a mesma razão de afinamento, chamamos
r = \Bigl(\frac{h_{f}}{h_{0}}\Bigr)^{1/3} = 0{,}25^{1/3}\approx0{,}62996.
Então as espessuras após cada passe são
h_{1} = h_{0}\,r = 120\,\text{mm}\times0{,}62996 \approx75{,}60\,\text{mm}, \quad h_{2} = h_{1}\,r \approx47{,}62\,\text{mm}, \quad h_{3} = h_{2}\,r =30{,}00\,\text{mm}.

Passo 3

O afinamento verdadeiro por passe é
\epsilon = \ln\!\bigl(h_{i}/h_{i+1}\bigr) = \ln\!\bigl(1/r\bigr)\approx0{,}4621.
A tensão média de escoamento fica
\sigma_{f} = C\,\epsilon^{m} = 240\,\text{MPa}\times(0{,}4621)^{0,025} \approx235{,}4\,\text{MPa},
e a pressão média é
p_{\rm m} = Q_{s}\,\sigma_{f} = 1{,}7\times235{,}4\;\text{MPa} \approx400{,}2\;\text{MPa}.

Passo 4

O comprimento de contato em cada passe é
\ell_{i} = \sqrt{R\,\Delta h_{i}}, \quad \Delta h_{1}=120-75{,}60=44{,}40\,\text{mm}, \;\Delta h_{2}=75{,}60-47{,}62=27{,}98\,\text{mm}, \;\Delta h_{3}=47{,}62-30=17{,}62\,\text{mm},
resultando em
\ell_{1}\approx105{,}3\,\text{mm},\quad \ell_{2}\approx83{,}7\,\text{mm},\quad \ell_{3}\approx66{,}3\,\text{mm}.
A força de laminação em cada passe é
F_{i} = p_{\rm m}\,b\,\ell_{i},
convertendo p_{\rm m} para N/m m^{2} e b para mm, ou usando tudo em SI (m e N/ m^{2}), temos
F_{1}\approx84{,}3\;\text{MN},\quad F_{2}\approx67{,}0\;\text{MN},\quad F_{3}\approx53{,}1\;\text{MN}.
A velocidade de laminação é
v = \frac{2\pi R\,N}{60} = \frac{2\pi\,(0{,}25\,\text{m})\times30}{60} \approx0{,}7854\;\text{m/s}.
Logo a potência em cada passe é
P_{i} = F_{i}\,v \approx \{66{,}2,\;52{,}7,\;41{,}7\}\;\text{MW} \quad\text{(passes 1,2 e 3).}

Passo 5

Para produzir 10\,000,t ( 1\times10^{7},kg), assumimos densidade do aço \rho=7{,}80\times10^{3},kg/ m^{3}. As áreas transversais nos insumos de cada passe são
A_{0}=b\,h_{0}=2{,}0\times0{,}12=0{,}24\;\text{m}^2, \; A_{1}=2{,}0\times0{,}07560=0{,}1512\;\text{m}^2, \; A_{2}=2{,}0\times0{,}04762=0{,}09524\;\text{m}^2.
O comprimento de bobina a ser laminado em cada passe é
L_{i} = \frac{M}{\rho\,A_{i-1}},
portanto
L_{1}\approx5348\,\text{m},\quad L_{2}\approx8481\,\text{m},\quad L_{3}\approx13465\,\text{m}.
O tempo em cada passe é t_{i}=L_{i}/v, dando
t_{1}\approx1{,}89\;\text{h},\quad t_{2}\approx3{,}00\;\text{h},\quad t_{3}\approx4{,}77\;\text{h},
e o tempo total
T = t_{1}+t_{2}+t_{3}\approx9{,}66\;\text{h}.

Passo 6

A energia consumida em cada passe é
E_{i} = P_{i}\,t_{i},
resultando em
E_{1}\approx451\;\text{GJ},\quad E_{2}\approx569\;\text{GJ},\quad E_{3}\approx716\;\text{GJ},
e a energia total
E_{\rm total}\approx1{,}736\;\text{TJ}.

Passo 7

A área final produzida é
\text{Área} = b\times L_{3}^{\rm final} \quad\text{com}\quad L_{3}^{\rm final}=\frac{M}{\rho\,b\,h_{3}} =\frac{10^{7}}{7{,}8\times10^{3}\times2{,}0\times0{,}03} \approx21368\,\text{m},Á
portanto
\text{Área total}\approx2{,}0\times21368=42736\;\text{m}^2.Á
Cada chapa 2\times2, m^{2} tem 4, m^{2}, logo o número de chapas é
N = \frac{42736}{4}\approx10684.

Resposta

a) Forças e potências em cada passe: F_{1}\approx84{,}3,MN, P_{1}\approx66{,}2,MW F_{2}\approx67{,}0,MN, P_{2}\approx52{,}7,MW F_{3}\approx53{,}1,MN, P_{3}\approx41{,}7,MW
b) Tempo total T\approx9{,}66,h; energia total E\approx1{,}736,TJ.
c) Aproximadamente 1{0}684 chapas de 2\times2, m^{2}.

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