7.30 Um condutor de raio
é percorrido por uma corrente uniforme com
. Demonstre que o potencial magnético vetorial para
é:
Passo 1
Enunciado (resumido): Um condutor cilíndrico de raio
é percorrido por uma corrente volumétrica uniforme dada por
. O objetivo é demonstrar que o potencial vetor magnético vale
para a região indicada no enunciado.\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
Observação importante (para não nos perdermos): a solução que vamos deduzir naturalmente aparece quando assumimos que
está dirigida ao longo do eixo do cilindro (componente axial constante, isto é
) e procuramos um potencial vetor com apenas componente axial
. Ao longo da resolução explico por que essa suposição de simetria é razoável e verifico a consistência final.
Passo 2
Por que podemos usar a equação
e por que só a componente axial aparece?\n
No magnetostático, escolhendo a gauge de Coulomb ( ), o potencial vetor satisfaz a equação de Poisson vetorial
No magnetostático, escolhendo a gauge de Coulomb (
Explicando as quantidades:
é o potencial vetor magnético que gera o campo magnético por
.
é a permeabilidade do vácuo.
é a densidade de corrente.\n
Simetria: o condutor é cilíndrico, a densidade é uniforme e direcionada ao longo do eixo (suposição razoável para um fio longo e reto). Nessas condições o problema não depende de
nem de
; tudo depende apenas de
. Além disso, pela simetria o potencial
pode ser escolhido com apenas componente axial
(qualquer componente azimutal ou radial quebraria a simetria do problema). Então tomamos
Simetria: o condutor é cilíndrico, a densidade
Passo 3
Expressão explícita do Laplaciano em coordenadas cilíndricas para
e equação a resolver\n
Quando uma função escala depende só de
, o laplaciano escalar em coordenadas cilíndricas é
Quando uma função escala
Como
e
(para
), a equação vetorial
reduz-se, na componente
, à equação escalar
válida no interior do condutor (
). Aqui cada termo significa:
-
é a variação radial do potencial axial; - o fator
é a forma do laplaciano radial em cilíndricas.
Passo 4
Resolver a equação diferencial no interior (
) passo a passo\n
Multiplicamos a equação por para simplificar:
Multiplicamos a equação por
Agora integramos em relação a
. A integral do lado direito é simples:
onde
é constante de integração. Para escolher
usamos a condição física de regularidade no eixo
:
deve ser finito em
. Como o termo
já se anula em zero, a única forma de evitar singularidade é escolher
. Assim
Integrando novamente em
:
com
outra constante de integração. Essa é a família de soluções internas. A escolha de
depende da gauge (podemos somar uma constante a
sem alterar
). Para fixar a gauge de forma simples e obter a forma pedida no enunciado escolhemos
. Assim obtemos
Passo 5
Verificação física pela Lei de Ampère (checar que
coincide com o campo esperado)\n
Calculemos a partir de
. Em coordenadas cilíndricas, se
então a única componente não nula de
é a azimutal e vale
Calculemos
Usando
encontramos
Agora calculemos o campo esperado pela Lei de Ampère para um raio arbitrário
. A corrente total encerrada por uma amperiana circular de raio
é
Pela forma integral da Lei de Ampère (campo tangencial uniforme na amperiana),
que coincide exatamente com o
obtido do rotacional de
. Assim a solução para
está consistente com as leis de Maxwell para o interior do condutor.
Passo 6
Comentários finais e ligação com a expressão pedida\n
- Interpretando os vetores unitários do enunciado: o símbolo
corresponde à direção do eixo do fio (isto é ) e é a mesma direção axial aqui usada ( ). Com essa interpretação, a solução que obtivemos é exatamente
- Observação prática: essa forma quadrática em
aparece dentro do fio, onde existe densidade de corrente volumétrica constante. Fora do fio ( ) a densidade de corrente é zero e a equação homogênea para conduz a uma solução do tipo (outras condições de contorno e escolha de gauge determinam e ); portanto a dependência não se aplica no exterior. Entretanto a expressão pedida no enunciado corresponde à solução interna que derivamos acima.\n
Força aí — deu trabalho, mas checamos tudo: equação de Poisson vetorial, simetria, solução por integrais e verificação por Ampère.