7.30 Um condutor de raio a é percorrido por uma corrente uniforme com \mathbf{J}=J_{a} \mathbf{a}_{c}. Demonstre que o potencial magnético vetorial para \rho>a é:
A=-\frac{1}{4} \mu_{0} J_{0} \rho^{2} \mathbf{a}_{2}

Passo 1

Enunciado (resumido): Um condutor cilíndrico de raio a é percorrido por uma corrente volumétrica uniforme dada por \mathbf{J}=J_{0}\,\mathbf{a}_{c}. O objetivo é demonstrar que o potencial vetor magnético vale
A=-\frac{1}{4}\mu_{0}J_{0}\rho^{2}\,\mathbf{a}_{2}
para a região indicada no enunciado.\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{raio do condutor: } a,
\text{densidade de corrente volumétrica: } \mathbf{J}=J_{0}\,\mathbf{a}_{c}\\ (\text{constante no interior do condutor}),é
\text{variáveis cilíndricas usadas: } \rho,\\ \varphi,\\ z\\ \text{e vetores unitários } \mathbf{a}_{\rho},\mathbf{a}_{\varphi},\mathbf{a}_{z}.áíá
Observação importante (para não nos perdermos): a solução que vamos deduzir naturalmente aparece quando assumimos que \mathbf{J} está dirigida ao longo do eixo do cilindro (componente axial constante, isto é \mathbf{J}=J_{0}\mathbf{a}_{z}) e procuramos um potencial vetor com apenas componente axial A_{z}(\rho). Ao longo da resolução explico por que essa suposição de simetria é razoável e verifico a consistência final.

Passo 2

Por que podemos usar a equação \nabla^{2}\mathbf{A}=-\mu_{0}\mathbf{J} e por que só a componente axial aparece?\n
No magnetostático, escolhendo a gauge de Coulomb ( \nabla\cdot\mathbf{A}=0), o potencial vetor satisfaz a equação de Poisson vetorial
\nabla^{2}\mathbf{A}=-\mu_{0}\mathbf{J}.
Explicando as quantidades:
\mathbf{A} é o potencial vetor magnético que gera o campo magnético por \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}. \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo. \mathbf{J} é a densidade de corrente.\n
Simetria: o condutor é cilíndrico, a densidade \mathbf{J} é uniforme e direcionada ao longo do eixo (suposição razoável para um fio longo e reto). Nessas condições o problema não depende de z nem de \varphi; tudo depende apenas de \rho. Além disso, pela simetria o potencial \mathbf{A} pode ser escolhido com apenas componente axial A_{z}(\rho) (qualquer componente azimutal ou radial quebraria a simetria do problema). Então tomamos
\mathbf{A}=A_{z}(\rho)\,\mathbf{a}_{z}.

Passo 3

Expressão explícita do Laplaciano em coordenadas cilíndricas para A_{z}(\rho) e equação a resolver\n
Quando uma função escala f(\rho) depende só de \rho, o laplaciano escalar em coordenadas cilíndricas é
\nabla^{2}f=\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\left(\rho\frac{df}{d\rho}\right).
Como \mathbf{A}=A_{z}(\rho)\mathbf{a}_{z} e \mathbf{J}=J_{0}\mathbf{a}_{z} (para \rho<a), a equação vetorial \nabla^{2}\mathbf{A}=-\mu_{0}\mathbf{J} reduz-se, na componente z, à equação escalar
\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\left(\rho\frac{dA_{z}}{d\rho}\right)=-\mu_{0}J_{0},
válida no interior do condutor ( \rho<a). Aqui cada termo significa:
  • \frac{dA_{z}}{d\rho} é a variação radial do potencial axial;
  • o fator \frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}(\rho\cdot) é a forma do laplaciano radial em cilíndricas.

Passo 4

Resolver a equação diferencial no interior ( 0\le\rho<a) passo a passo\n
Multiplicamos a equação por \rho para simplificar:
\frac{d}{d\rho}\!\left(\rho\frac{dA_{z}}{d\rho}\right)=-\mu_{0}J_{0}\rho.
Agora integramos em relação a \rho. A integral do lado direito é simples:
\rho\frac{dA_{z}}{d\rho}=-\mu_{0}J_{0}\,\frac{\rho^{2}}{2}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Para escolher C_{1} usamos a condição física de regularidade no eixo \rho=0: \rho\frac{dA_{z}}{d\rho} deve ser finito em \rho=0. Como o termo -\mu_{0}J_{0}\rho^{2}/2 já se anula em zero, a única forma de evitar singularidade é escolher C_{1}=0. Assim
\frac{dA_{z}}{d\rho}=-\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\rho.
Integrando novamente em \rho:
A_{z}(\rho)=-\frac{\mu_{0}J_{0}}{4}\rho^{2}+C_{2},
com C_{2} outra constante de integração. Essa é a família de soluções internas. A escolha de C_{2} depende da gauge (podemos somar uma constante a A_{z} sem alterar \mathbf{B}). Para fixar a gauge de forma simples e obter a forma pedida no enunciado escolhemos C_{2}=0. Assim obtemos
\mathbf{A}(\rho)=-\frac{1}{4}\mu_{0}J_{0}\rho^{2}\,\mathbf{a}_{z}.

Passo 5

Verificação física pela Lei de Ampère (checar que \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} coincide com o campo esperado)\n
Calculemos \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} a partir de A_{z}(\rho). Em coordenadas cilíndricas, se \mathbf{A}=A_{z}(\rho)\mathbf{a}_{z} então a única componente não nula de \mathbf{B} é a azimutal e vale
B_{\varphi}=-\frac{dA_{z}}{d\rho}.
Usando A_{z}=-\dfrac{\mu_{0}J_{0}}{4}\rho^{2} encontramos
B_{\varphi}=-\left(-\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\rho\right)=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\rho.
Agora calculemos o campo esperado pela Lei de Ampère para um raio arbitrário \rho<a. A corrente total encerrada por uma amperiana circular de raio \rho é
I_{\text{enc}}(\rho)=J_{0}\cdot\text{área}=\;J_{0}\cdot\pi\rho^{2}.á
Pela forma integral da Lei de Ampère (campo tangencial uniforme na amperiana),
B_{\varphi}(\rho)=\frac{\mu_{0}I_{\text{enc}}(\rho)}{2\pi\rho}=\frac{\mu_{0}J_{0}\pi\rho^{2}}{2\pi\rho}=\frac{\mu_{0}J_{0}}{2}\rho,
que coincide exatamente com o B_{\varphi} obtido do rotacional de \mathbf{A}. Assim a solução para A_{z} está consistente com as leis de Maxwell para o interior do condutor.

Passo 6

Comentários finais e ligação com a expressão pedida\n
  • Interpretando os vetores unitários do enunciado: o símbolo \mathbf{a}_{c} corresponde à direção do eixo do fio (isto é \mathbf{a}_{z}) e \mathbf{a}_{2} é a mesma direção axial aqui usada ( \mathbf{a}_{z}). Com essa interpretação, a solução que obtivemos é exatamente
\mathbf{A}=-\frac{1}{4}\mu_{0}J_{0}\rho^{2}\,\mathbf{a}_{2}.
  • Observação prática: essa forma quadrática em \rho aparece dentro do fio, onde existe densidade de corrente volumétrica constante. Fora do fio ( \rho>a) a densidade de corrente é zero e a equação homogênea para A_{z} conduz a uma solução do tipo A_{z}=C\ln\rho + D (outras condições de contorno e escolha de gauge determinam C e D); portanto a dependência \rho^{2} não se aplica no exterior. Entretanto a expressão pedida no enunciado corresponde à solução interna que derivamos acima.\n
    Força aí — deu trabalho, mas checamos tudo: equação de Poisson vetorial, simetria, solução por integrais e verificação por Ampère.

Resposta

A=-\frac{1}{4}\mu_{0}J_{0}\rho^{2}\,\mathbf{a}_{2}

Exercícios relacionados