7.38 Prove que, em coordenadas cilíndricas,
(a) \nabla \times(\nabla V)=0

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em coordenadas cilíndricas, a operação rotational (curl) aplicada ao gradiente de um potencial escalar V é o vetor nulo. Ou seja, provar que
\nabla\times(\nabla V)=\mathbf{0}.
Informações e condições dadas (explicitamente ou implicitamente):
  • V é uma função escalar V(r,\theta,z) suficientemente suave (tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas).
  • Podemos usar as fórmulas padrão para o gradiente e para o rotor (curl) em coordenadas cilíndricas.
  • A tarefa é mostrar, passo a passo, que cada componente do vetor \nabla\times(\nabla V) é zero.

Passo 2

Apresento a fórmula do gradiente em coordenadas cilíndricas e explico cada termo. Se V=V(r,\theta,z), então o gradiente em coordenadas cilíndricas é
\nabla V = \hat{e}_r\,\frac{\partial V}{\partial r}+\hat{e}_\theta\,\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta}+\hat{e}_z\,\frac{\partial V}{\partial z}.
Explicações didáticas:
  • \hat{e}_r, \hat{e}_\theta, \hat{e}_z são os versores (vetores unitários) das direções r,\theta,z. Note que \hat{e}_r e \hat{e}_\theta dependem de \theta (mudam direção quando \theta muda), enquanto \hat{e}_z é fixo.
  • A componente na direção \hat{e}_r é \partial V/\partial r.
  • A componente na direção \hat{e}_\theta vem multiplicada por 1/r por causa do fator de escala angular em coordenadas cilíndricas.
  • A componente axial \hat{e}_z é \partial V/\partial z.

Passo 3

Apresento a fórmula do rotor (curl) em coordenadas cilíndricas para um campo vetorial \mathbf{A}=A_r\hat{e}_r+A_\theta\hat{e}_\theta+A_z\hat{e}_z. As componentes do rotor são:
(\nabla\times\mathbf{A})_r=\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial z},
(\nabla\times\mathbf{A})_\theta=\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r},
(\nabla\times\mathbf{A})_z=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right).
Explicação dos termos:
  • Esses fórmulas já levam em conta os fatores de escala e o fato de \hat{e}_r,\hat{e}_\theta variarem com \theta.
  • Cada expressão dá a componente correspondente do vetor \nabla\times\mathbf{A} na base \{\hat{e}_r,\hat{e}_\theta,\hat{e}_z\}.

Passo 4

Agora aplicamos essas fórmulas ao caso \mathbf{A}=\nabla V. Identificamos as componentes de \mathbf{A} a partir do Passo 2:
A_r=\frac{\partial V}{\partial r},\qquad A_\theta=\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta},\qquad A_z=\frac{\partial V}{\partial z}.
Observação importante sobre regularidade: vamos usar que V tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas para poder trocar a ordem de diferenciação (teorema de Clairaut / igualdade das derivadas parciais mistas).

Passo 5

Calculo a componente radial (\nabla\times(\nabla V))_r passo a passo. Usando a fórmula do Passo 3:
(\nabla\times(\nabla V))_r=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\Big(\frac{\partial V}{\partial z}\Big)-\frac{\partial}{\partial z}\Big(\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta}\Big).
Agora desenvolvimento e justificação de cada termo:
  • No primeiro termo a derivada em \theta de \partial V/\partial z é \partial^2 V/(\partial \theta\partial z).
  • No segundo termo, 1/r não depende de z, portanto
\frac{\partial}{\partial z}\Big(\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta}\Big)=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial z}\Big(\frac{\partial V}{\partial \theta}\Big)=\frac{1}{r}\frac{\partial^2 V}{\partial z\partial \theta}.
Como V é suficientemente suave, as derivadas mistas são iguais:
\frac{\partial^2 V}{\partial \theta\partial z}=\frac{\partial^2 V}{\partial z\partial \theta}.
Portanto os dois termos se cancelam e obtemos
(\nabla\times(\nabla V))_r=0.

Passo 6

Calculo a componente \theta (\nabla\times(\nabla V))_\theta. Pela fórmula:
(\nabla\times(\nabla V))_\theta=\frac{\partial}{\partial z}\Big(\frac{\partial V}{\partial r}\Big)-\frac{\partial}{\partial r}\Big(\frac{\partial V}{\partial z}\Big).
Desenvolvendo:
(\nabla\times(\nabla V))_\theta=\frac{\partial^2 V}{\partial z\partial r}-\frac{\partial^2 V}{\partial r\partial z}.
Pela igualdade das derivadas parciais mistas temos
\frac{\partial^2 V}{\partial z\partial r}=\frac{\partial^2 V}{\partial r\partial z},
logo
(\nabla\times(\nabla V))_\theta=0.

Passo 7

Calculo a componente axial (\nabla\times(\nabla V))_z. Usando a fórmula:
(\nabla\times(\nabla V))_z=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}\big(rA_\theta\big)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right).
Substituindo A_\theta e A_r do Passo 4:
  • Primeiro note que rA_\theta=r\cdot\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta}=\frac{\partial V}{\partial \theta}.
  • Então
\frac{\partial}{\partial r}\big(rA_\theta\big)=\frac{\partial}{\partial r}\Big(\frac{\partial V}{\partial \theta}\Big)=\frac{\partial^2 V}{\partial r\partial \theta}.
  • E
\frac{\partial A_r}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}\Big(\frac{\partial V}{\partial r}\Big)=\frac{\partial^2 V}{\partial \theta\partial r}.
Pela igualdade das mistas,
\frac{\partial^2 V}{\partial r\partial \theta}=\frac{\partial^2 V}{\partial \theta\partial r},
portanto o conteúdo do parêntese é zero e também
(\nabla\times(\nabla V))_z=0.

Passo 8

Juntando os resultados dos passos anteriores, todas as três componentes do vetor \nabla\times(\nabla V) são zero:
(\nabla\times(\nabla V))_r=0,\qquad (\nabla\times(\nabla V))_\theta=0,\qquad (\nabla\times(\nabla V))_z=0.
Logo o rotor do gradiente é o vetor nulo em coordenadas cilíndricas, desde que V seja suficientemente suave (derivadas de segunda ordem contínuas), condição usada para trocar a ordem das diferenciações.

Resposta

\nabla\times(\nabla V)=\mathbf{0}

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