7.38 Prove que, em coordenadas cilíndricas,
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em coordenadas cilíndricas, a operação rotational (curl) aplicada ao gradiente de um potencial escalar
é o vetor nulo. Ou seja, provar que
Informações e condições dadas (explicitamente ou implicitamente):
-
é uma função escalar suficientemente suave (tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas). - Podemos usar as fórmulas padrão para o gradiente e para o rotor (curl) em coordenadas cilíndricas.
- A tarefa é mostrar, passo a passo, que cada componente do vetor
é zero.
Passo 2
Apresento a fórmula do gradiente em coordenadas cilíndricas e explico cada termo. Se
, então o gradiente em coordenadas cilíndricas é
Explicações didáticas:
-
, , são os versores (vetores unitários) das direções . Note que e dependem de (mudam direção quando muda), enquanto é fixo. - A componente na direção
é . - A componente na direção
vem multiplicada por por causa do fator de escala angular em coordenadas cilíndricas. - A componente axial
é .
Passo 3
Apresento a fórmula do rotor (curl) em coordenadas cilíndricas para um campo vetorial
. As componentes do rotor são:
Explicação dos termos:
- Esses fórmulas já levam em conta os fatores de escala e o fato de
variarem com . - Cada expressão dá a componente correspondente do vetor
na base .
Passo 4
Agora aplicamos essas fórmulas ao caso
. Identificamos as componentes de
a partir do Passo 2:
Observação importante sobre regularidade: vamos usar que
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas para poder trocar a ordem de diferenciação (teorema de Clairaut / igualdade das derivadas parciais mistas).
Passo 5
Calculo a componente radial
passo a passo. Usando a fórmula do Passo 3:
Agora desenvolvimento e justificação de cada termo:
- No primeiro termo a derivada em
de é . - No segundo termo,
não depende de , portanto
Como
é suficientemente suave, as derivadas mistas são iguais:
Portanto os dois termos se cancelam e obtemos
Passo 6
Calculo a componente
. Pela fórmula:
Desenvolvendo:
Pela igualdade das derivadas parciais mistas temos
logo
Passo 7
Calculo a componente axial
. Usando a fórmula:
Substituindo
e
do Passo 4:
- Primeiro note que
. - Então
- E
Pela igualdade das mistas,
portanto o conteúdo do parêntese é zero e também
Passo 8
Juntando os resultados dos passos anteriores, todas as três componentes do vetor
são zero:
Logo o rotor do gradiente é o vetor nulo em coordenadas cilíndricas, desde que
seja suficientemente suave (derivadas de segunda ordem contínuas), condição usada para trocar a ordem das diferenciações.