7.32 O potencial magnético vetorial de dois filamentos de corrente retilíneos infinitos e paralelos no espaço livre, percorridos por correntes iguais
e de sentidos contrários, é
onde
é a distância que separa os dois filamentos (com um dos filamentos disposto sobre o eixo z). Determine a densidade de fluxo magnético
correspondente.
Passo 1
O enunciado dá o potencial vetorial dos dois filamentos paralelos e pede a densidade de fluxo magnético correspondente. Informações relevantes fornecidas:
- O potencial vetorial é
onde
é a permeabilidade do meio,
é a distância entre os dois filamentos e
é a coordenada radial cilíndrica (distância ao eixo do filamento que está sobre o eixo
).
- O enunciado menciona correntes iguais
com sentidos contrários; na expressão do potencial o símbolo representa essa intensidade de corrente (ou seja, ). - Deve-se determinar
(a densidade de fluxo magnético) correspondente a esse .
Passo 2
O que significa "determinar
" a partir de
: por definição, o campo magnético
é o rotacional (curl) do potencial vetorial magnético
. Em notação matemática:
Aqui vou usar coordenadas cilíndricas
porque
está escrito com dependência em
e componente apenas na direção
. Em coordenadas cilíndricas, para um vetor qualquer
o rotacional tem componentes (fórmula padrão):
Explico cada termo rapidamente:
são as componentes do vetor nas direções radiais, azimutais e axiais; as derivadas parciais indicam como essas componentes variam nas coordenadas. Esta fórmula leva em conta a variação das bases unitárias cilíndricas.
Passo 3
Aplicação ao nosso caso: a expressão dada tem apenas componente
e depende só de
. Portanto
Substituindo na fórmula do rotacional, as componentes
e
ficam nulas porque envolvem
ou derivadas em
e
que valem zero aqui. A única componente não nula é a componente azimutal:
Ou seja,
Passo 4
Calcular a derivada de
com respeito a
. Primeiro escrevo
de forma que facilite derivar:
Derivo cada termo em
:
Portanto
Agora aplico a relação do passo anterior:
Passo 5
Simplifico a expressão somando as frações:
Assim uma forma compacta e útil para
é
Comentário prático: essa expressão vale no intervalo onde a fórmula do potencial foi tomada (por exemplo
se estivermos entre os filamentos); as singularidades em
e
correspondem às posições dos filamentos (lá o campo teoricamente diverge como esperado para fios infinitos).