7.32 O potencial magnético vetorial de dois filamentos de corrente retilíneos infinitos e paralelos no espaço livre, percorridos por correntes iguais I e de sentidos contrários, é
\mathbf{A}=\frac{\mu l}{2 \pi} \ln \frac{d-\rho}{\rho} \mathbf{a}_{z}
onde d é a distância que separa os dois filamentos (com um dos filamentos disposto sobre o eixo z). Determine a densidade de fluxo magnético \mathbf{B} correspondente.

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetorial dos dois filamentos paralelos e pede a densidade de fluxo magnético correspondente. Informações relevantes fornecidas:
  • O potencial vetorial é
\mathbf{A}=\frac{\mu \ell}{2\pi}\ln\!\frac{d-\rho}{\rho}\,\mathbf{a}_z,
onde \mu é a permeabilidade do meio, d é a distância entre os dois filamentos e \rho é a coordenada radial cilíndrica (distância ao eixo do filamento que está sobre o eixo z).
  • O enunciado menciona correntes iguais I com sentidos contrários; na expressão do potencial o símbolo \ell representa essa intensidade de corrente (ou seja, \ell=I).
  • Deve-se determinar \mathbf{B} (a densidade de fluxo magnético) correspondente a esse \mathbf{A}.

Passo 2

O que significa "determinar \mathbf{B}" a partir de \mathbf{A}: por definição, o campo magnético \mathbf{B} é o rotacional (curl) do potencial vetorial magnético \mathbf{A}. Em notação matemática:
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.
Aqui vou usar coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) porque \mathbf{A} está escrito com dependência em \rho e componente apenas na direção z. Em coordenadas cilíndricas, para um vetor qualquer
\mathbf{A}=A_\rho\,\mathbf{a}_\rho+A_\varphi\,\mathbf{a}_\varphi+A_z\,\mathbf{a}_z,
o rotacional tem componentes (fórmula padrão):
(\nabla\times\mathbf{A})_\rho=\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial\varphi}-\frac{\partial A_\varphi}{\partial z},
(\nabla\times\mathbf{A})_\varphi=\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial\rho},
(\nabla\times\mathbf{A})_z=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho A_\varphi)-\frac{\partial A_\rho}{\partial\varphi}\right).
Explico cada termo rapidamente: A_\rho,A_\varphi,A_z são as componentes do vetor nas direções radiais, azimutais e axiais; as derivadas parciais indicam como essas componentes variam nas coordenadas. Esta fórmula leva em conta a variação das bases unitárias cilíndricas.

Passo 3

Aplicação ao nosso caso: a expressão dada tem apenas componente z e depende só de \rho. Portanto
A_\rho=0,\qquad A_\varphi=0,\qquad A_z=\frac{\mu\ell}{2\pi}\ln\!\frac{d-\rho}{\rho}.
Substituindo na fórmula do rotacional, as componentes \rho e z ficam nulas porque envolvem A_\varphi ou derivadas em \varphi e z que valem zero aqui. A única componente não nula é a componente azimutal:
(\nabla\times\mathbf{A})_\varphi=-\frac{\partial A_z}{\partial\rho}.
Ou seja,
\mathbf{B}=(\nabla\times\mathbf{A})=-\frac{\partial A_z}{\partial\rho}\,\mathbf{a}_\varphi.

Passo 4

Calcular a derivada de A_z com respeito a \rho. Primeiro escrevo A_z de forma que facilite derivar:
A_z=\frac{\mu\ell}{2\pi}\Big(\ln(d-\rho)-\ln\rho\Big).
Derivo cada termo em \rho:
\frac{d}{d\rho}\ln(d-\rho)=-\frac{1}{d-\rho}, \qquad \frac{d}{d\rho}\ln\rho=\frac{1}{\rho}.
Portanto
\frac{\partial A_z}{\partial\rho}=\frac{\mu\ell}{2\pi}\Big(-\frac{1}{d-\rho}-\frac{1}{\rho}\Big) =-\frac{\mu\ell}{2\pi}\Big(\frac{1}{d-\rho}+\frac{1}{\rho}\Big).
Agora aplico a relação do passo anterior:
\mathbf{B}=-\frac{\partial A_z}{\partial\rho}\,\mathbf{a}_\varphi =\frac{\mu\ell}{2\pi}\Big(\frac{1}{d-\rho}+\frac{1}{\rho}\Big)\mathbf{a}_\varphi.

Passo 5

Simplifico a expressão somando as frações:
\frac{1}{d-\rho}+\frac{1}{\rho}=\frac{\rho+(d-\rho)}{\rho(d-\rho)}=\frac{d}{\rho(d-\rho)}.
Assim uma forma compacta e útil para \mathbf{B} é
\mathbf{B}=\frac{\mu\ell d}{2\pi\,\rho(d-\rho)}\,\mathbf{a}_\varphi.
Comentário prático: essa expressão vale no intervalo onde a fórmula do potencial foi tomada (por exemplo 0<\rho<d se estivermos entre os filamentos); as singularidades em \rho=0 e \rho=d correspondem às posições dos filamentos (lá o campo teoricamente diverge como esperado para fios infinitos).

Resposta

\mathbf{B}=\frac{\mu\ell}{2\pi}\Big(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{d-\rho}\Big)\mathbf{a}_\varphi
\text{ou}\qquad \mathbf{B}=\frac{\mu\ell d}{2\pi\,\rho(d-\rho)}\,\mathbf{a}_\varphi

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