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Dois conjuntos, A e B , são tais que o número de elementos de A - B é 50 , o número de elementos de A \cup B é 62 e o número de elementos de A-B, A \cap B e B - A estão em progressão geométrica. Determine o número de elementos do conjunto \mathrm{A} \cap \mathrm{B}.

Passo 1

Vou descrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • o número de elementos de A-B é 50;
    • o número de elementos de A\cup B é 62;
    • os números de elementos de A-B, A\cap B e B-A estão em progressão geométrica (nessa ordem).
  • O que o enunciado pede:
    • determinar o número de elementos de A\cap B.

Passo 2

Vamos definir variáveis para os três números que aparecem na progressão geométrica, deixando tudo bem explícito:
  • Seja x=\lvert A-B\rvert.
  • Seja y=\lvert A\cap B\rvert.
  • Seja z=\lvert B-A\rvert.
Pelo enunciado sabemos que x=50. Também sabemos a relação entre união e essas partes disjuntas do diagrama de Venn:
\lvert A\cup B\rvert = \lvert A-B\rvert + \lvert A\cap B\rvert + \lvert B-A\rvert.
Substituindo as letras:
50 + y + z = 62.

Passo 3

Agora usar a informação da progressão geométrica. Três números x,y,z estão em progressão geométrica significa que existe uma razão r tal que
y = x\,r \qquad\text{e}\qquad z = x\,r^{2}.
Isto é, cada termo é obtido multiplicando o anterior por r.
Como x=50, temos
y = 50\,r, \qquad z = 50\,r^{2}.
Observação importante (para escolher soluções depois): y e z representam números de elementos, logo devem ser inteiros não negativos. Isso limitará as possíveis r.

Passo 4

Voltar à equação da união e substituir y e z:
50 + 50r + 50r^{2} = 62.
Dividindo ambos os lados por 50:
r^{2} + r + 1 = \frac{62}{50} = \frac{31}{25}.
Colocando tudo em um lado e multiplicando por 25 para eliminar denominadores:
25r^{2} + 25r + 25 = 31 \quad\Rightarrow\quad 25r^{2} + 25r - 6 = 0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática 25r^{2}+25r-6=0 pelo discriminante. O discriminante é
\Delta = 25^{2} - 4\cdot 25 \cdot (-6) = 625 + 600 = 1225.
Repare que 1225 = 35^{2}. Assim as raízes são
r = \frac{-25 \pm 35}{2\cdot 25} = \frac{-25 \pm 35}{50}.
Calculando as duas possibilidades:
r_{1} = \frac{-25 + 35}{50} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}, \qquad r_{2} = \frac{-25 - 35}{50} = \frac{-60}{50} = -\frac{6}{5}.
Agora checamos a viabilidade de cada r. Para r_{2}=-\tfrac{6}{5} teríamos
y = 50\cdot\left(-\tfrac{6}{5}\right) = -60,
o que é impossível porque é negativo (número de elementos não pode ser negativo). Portanto descartamos r_{2}.
Fica então r=\tfrac{1}{5}.

Passo 6

Com r=\tfrac{1}{5} calculamos y=\lvert A\cap B\rvert:
y = 50\cdot \frac{1}{5} = 10.
Por consistência, calculamos também z:
z = 50\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{2} = 50\cdot\frac{1}{25} = 2.
Verificação rápida: 50 + 10 + 2 = 62, que é exatamente \lvert A\cup B\rvert. Tudo bate.

Resposta

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