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Dois conjuntos, A e B , são tais que o número de elementos de A - B é 50 , o número de elementos de
é 62 e o número de elementos de
e B - A estão em progressão geométrica. Determine o número de elementos do conjunto
.
Passo 1
Vou descrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- o número de elementos de
é ; - o número de elementos de
é ; - os números de elementos de
, e estão em progressão geométrica (nessa ordem).
- o número de elementos de
-
O que o enunciado pede:
- determinar o número de elementos de
.
- determinar o número de elementos de
Passo 2
Vamos definir variáveis para os três números que aparecem na progressão geométrica, deixando tudo bem explícito:
- Seja
. - Seja
. - Seja
.
Pelo enunciado sabemos que
. Também sabemos a relação entre união e essas partes disjuntas do diagrama de Venn:
Substituindo as letras:
Passo 3
Agora usar a informação da progressão geométrica. Três números
estão em progressão geométrica significa que existe uma razão
tal que
Isto é, cada termo é obtido multiplicando o anterior por
.
Como
, temos
Observação importante (para escolher soluções depois):
e
representam números de elementos, logo devem ser inteiros não negativos. Isso limitará as possíveis
.
Passo 4
Voltar à equação da união e substituir
e
:
Dividindo ambos os lados por
:
Colocando tudo em um lado e multiplicando por
para eliminar denominadores:
Passo 5
Resolver a equação quadrática
pelo discriminante. O discriminante é
Repare que
. Assim as raízes são
Calculando as duas possibilidades:
Agora checamos a viabilidade de cada
. Para
teríamos
o que é impossível porque é negativo (número de elementos não pode ser negativo). Portanto descartamos
.
Fica então
.
Passo 6
Com
calculamos
:
Por consistência, calculamos também
:
Verificação rápida:
, que é exatamente
. Tudo bate.