Prove que em toda P.G.
.
Passo 1
O enunciado dá uma progressão geométrica (P.G.) e usa
para indicar a soma dos
primeiros termos dessa P.G. O que se pede é provar a identidade
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- Existe uma P.G. com primeiro termo e razão (a identificar).
- Para cada inteiro positivo
, é a soma dos primeiros termos da P.G.
O objetivo é mostrar que a igualdade acima vale para toda P.G. (qualquer primeiro termo e qualquer razão), incluindo o caso especial em que a razão é.
Passo 2
Vamos nomear os parâmetros da P.G. para trabalhar com fórmulas concretas. Seja
o primeiro termo e
a razão da P.G. Assim os termos são
e a soma dos primeiros
termos é por definição
Passo 3
Primeiro deduzimos a fórmula fechada para
quando
. Essa é uma técnica padrão: multiplicar
por
e subtrair. Escrevendo
multiplicando por
obtemos
Subtraindo as duas equações:
ou seja
Se
, dividindo por
temos a fórmula conhecida
Passo 4
Usando a mesma fórmula para
e
(aqui ainda supondo
), obtemos:
Agora vamos calcular os lados da identidade usando essas expressões. Para simplificar a escrita, note que todos os
têm o mesmo fator
; ao formar produtos e quadrados aparecerá como
comum a todos os termos. Portanto calculemos os numeradores comparando-os.
Passo 5
Calcule o lado esquerdo com denominador comum
:
Calcule o lado direito com o mesmo denominador:
Basta, então, mostrar que os numeradores são iguais:
Passo 6
Façamos a expansão dos dois lados para verificar a igualdade. Expansão do lado esquerdo:
Somando termos semelhantes:
Agora expandimos o lado direito:
Ao agrupar, os termos
e
se cancelam, ficando
Portanto ambas as expressões coincidem. Assim, para
temos
Passo 7
Falta tratar o caso especial
. Se
todos os termos da P.G. são iguais a
, logo
Substituindo na identidade:
e
Logo a igualdade também vale quando
.
Passo 8
Concluímos que, para qualquer P.G. (qualquer
e qualquer
), vale a identidade pedida. Fizemos o caso geral
com fórmulas algébricas e checamos o caso limite
.