Prove que em toda P.G. S_{n}^{2}+S_{2 n}^{2}=S_{n} \cdot\left(S_{2 n}+S_{3 n}\right).

Passo 1

O enunciado dá uma progressão geométrica (P.G.) e usa S_n para indicar a soma dos n primeiros termos dessa P.G. O que se pede é provar a identidade
S_{n}^{2}+S_{2n}^{2}=S_{n}\cdot\bigl(S_{2n}+S_{3n}\bigr).
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • Existe uma P.G. com primeiro termo e razão (a identificar).
  • Para cada inteiro positivo k, S_k é a soma dos primeiros k termos da P.G.
    O objetivo é mostrar que a igualdade acima vale para toda P.G. (qualquer primeiro termo e qualquer razão), incluindo o caso especial em que a razão é 1.

Passo 2

Vamos nomear os parâmetros da P.G. para trabalhar com fórmulas concretas. Seja a o primeiro termo e r a razão da P.G. Assim os termos são
a,\; ar,\; ar^{2},\; ar^{3},\dots
e a soma dos primeiros n termos é por definição
S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{n-1}.

Passo 3

Primeiro deduzimos a fórmula fechada para S_n quando r\neq1. Essa é uma técnica padrão: multiplicar S_n por r e subtrair. Escrevendo
S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{n-1},
multiplicando por r obtemos
rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdots+ar^{n}.
Subtraindo as duas equações:
S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n},
ou seja
(1-r)S_{n}=a(1-r^{n}).
Se r\neq1, dividindo por 1-r temos a fórmula conhecida
S_{n}=a\frac{1-r^{n}}{1-r}.

Passo 4

Usando a mesma fórmula para 2n e 3n (aqui ainda supondo r\neq1), obtemos:
S_{2n}=a\frac{1-r^{2n}}{1-r}, \qquad S_{3n}=a\frac{1-r^{3n}}{1-r}.
Agora vamos calcular os lados da identidade usando essas expressões. Para simplificar a escrita, note que todos os S têm o mesmo fator a/(1-r); ao formar produtos e quadrados aparecerá como \bigl(a/(1-r)\bigr)^{2} comum a todos os termos. Portanto calculemos os numeradores comparando-os.

Passo 5

Calcule o lado esquerdo com denominador comum (1-r)^{2}:
S_{n}^{2}+S_{2n}^{2} = a^{2}\frac{(1-r^{n})^{2}+(1-r^{2n})^{2}}{(1-r)^{2}}.
Calcule o lado direito com o mesmo denominador:
S_{n}\bigl(S_{2n}+S_{3n}\bigr) = a^{2}\frac{(1-r^{n})\bigl(1-r^{2n}+1-r^{3n}\bigr)}{(1-r)^{2}}.
Basta, então, mostrar que os numeradores são iguais:
(1-r^{n})^{2}+(1-r^{2n})^{2}\stackrel{?}{=}(1-r^{n})\bigl(2-r^{2n}-r^{3n}\bigr).

Passo 6

Façamos a expansão dos dois lados para verificar a igualdade. Expansão do lado esquerdo:
(1-r^{n})^{2}+(1-r^{2n})^{2} = (1-2r^{n}+r^{2n})+(1-2r^{2n}+r^{4n}).
Somando termos semelhantes:
=2-2r^{n}-r^{2n}+r^{4n}.
Agora expandimos o lado direito:
(1-r^{n})\bigl(2-r^{2n}-r^{3n}\bigr) =2- r^{2n}-r^{3n}-2r^{n}+r^{3n}+r^{4n}.
Ao agrupar, os termos -r^{3n} e +r^{3n} se cancelam, ficando
=2-2r^{n}-r^{2n}+r^{4n}.
Portanto ambas as expressões coincidem. Assim, para r\neq1 temos
S_{n}^{2}+S_{2n}^{2}=S_{n}\bigl(S_{2n}+S_{3n}\bigr).

Passo 7

Falta tratar o caso especial r=1. Se r=1 todos os termos da P.G. são iguais a a, logo
S_{n}=na,\qquad S_{2n}=2na,\qquad S_{3n}=3na.
Substituindo na identidade:
S_{n}^{2}+S_{2n}^{2}=(na)^{2}+(2na)^{2}=n^{2}a^{2}+4n^{2}a^{2}=5n^{2}a^{2},
e
S_{n}\bigl(S_{2n}+S_{3n}\bigr)=na\bigl(2na+3na\bigr)=na\cdot5na=5n^{2}a^{2}.
Logo a igualdade também vale quando r=1.

Passo 8

Concluímos que, para qualquer P.G. (qualquer a e qualquer r), vale a identidade pedida. Fizemos o caso geral r\neq1 com fórmulas algébricas e checamos o caso limite r=1.

Resposta

S_{n}^{2}+S_{2n}^{2}=S_{n}\cdot\bigl(S_{2n}+S_{3n}\bigr).

Exercícios relacionados