Partindo de um quadrado
, cujo lado mede a metros, consideremos os quadrados
tais que os vértices de cada quadrado sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcule, então, a soma das áreas dos quadrados
.
Passo 1
Vou deixar claríssimo o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- O quadrado
tem lado de comprimento metros. - Para cada
, o quadrado é formado cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrado .
- O quadrado
- O que se pede:
- Calcular a soma das áreas dos quadrados
.
- Calcular a soma das áreas dos quadrados
Passo 2
Calcular a área do primeiro quadrado e escrever notação para as áreas.
- A área do quadrado
é
porque a área de um quadrado de lado
é
. Aqui
, logo
.
Passo 3
Determinar o lado do quadrado
(mostrando passo a passo como obter a redução).
- Uma maneira simples e muito direta: colocar coordenadas. Considere
com vértices em , , , . - Os pontos médios desses lados são
. - O lado de
é a distância, por exemplo, entre e . Calculando a distância euclidiana:
- Portanto o lado de
vale .
Passo 4
Encontrar a razão entre lados e entre áreas (a sequência geométrica).
- A razão entre o lado de
e o lado de é
- A área escala com o quadrado da razão dos lados. Logo a razão entre áreas consecutivas é
- Assim as áreas formam uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão . Ou seja, para ,
Passo 5
Recordar e demonstrar a fórmula da soma finita de uma progressão geométrica (didático e passo a passo).
- Seja uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão (com ). A soma dos primeiros termos é
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Subtraindo as duas equações
cancela quase todos os termos:
- Fatorando
. Como , temos
Passo 6
Aplicar a fórmula da soma ao nosso caso (substituindo
e
).
- Substituindo em
obtemos
- Como
, isso simplifica para
Passo 7
Interpretação final e observação extra (útil na prova).
- A expressão anterior é a soma exata das áreas dos
quadrados até . - Observação útil: se deixarmos
a soma converge para , porque . Assim a soma infinita vale .