Partindo de um quadrado Q_{1}, cujo lado mede a metros, consideremos os quadrados Q_{2}, Q_{3}, Q_{4}, \ldots, Q_{n} tais que os vértices de cada quadrado sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcule, então, a soma das áreas dos quadrados \mathrm{Q}_{1}, \mathrm{Q}_{2}, \mathrm{Q}_{3}, \ldots, \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}.

Passo 1

Vou deixar claríssimo o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • O quadrado Q_{1} tem lado de comprimento a metros.
    • Para cada k\ge2, o quadrado Q_{k} é formado cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrado Q_{k-1}.
  • O que se pede:
    • Calcular a soma das áreas dos quadrados Q_{1},Q_{2},\dots,Q_{n}.

Passo 2

Calcular a área do primeiro quadrado e escrever notação para as áreas.
  • A área do quadrado Q_{1} é
A_{1}=a^{2},
porque a área de um quadrado de lado L é L^{2}. Aqui L=a, logo A_{1}=a^{2}.

Passo 3

Determinar o lado do quadrado Q_{2} (mostrando passo a passo como obter a redução).
  • Uma maneira simples e muito direta: colocar coordenadas. Considere Q_{1} com vértices em (0,0), (a,0), (a,a), (0,a).
  • Os pontos médios desses lados são
    (\tfrac{a}{2},0),\; (a,\tfrac{a}{2}),\; (\tfrac{a}{2},a),\; (0,\tfrac{a}{2}).
  • O lado de Q_{2} é a distância, por exemplo, entre (\tfrac{a}{2},0) e (a,\tfrac{a}{2}). Calculando a distância euclidiana:
\text{lado de }Q_{2}=\sqrt{\Big(a-\tfrac{a}{2}\Big)^{2}+\Big(\tfrac{a}{2}-0\Big)^{2}} =\sqrt{\Big(\tfrac{a}{2}\Big)^{2}+\Big(\tfrac{a}{2}\Big)^{2}} =\sqrt{2\cdot\Big(\tfrac{a}{2}\Big)^{2}} =\frac{a}{\sqrt{2}}.
  • Portanto o lado de Q_{2} vale \dfrac{a}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Encontrar a razão entre lados e entre áreas (a sequência geométrica).
  • A razão entre o lado de Q_{2} e o lado de Q_{1} é
r_{\text{lado}}=\frac{a/\sqrt{2}}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
  • A área escala com o quadrado da razão dos lados. Logo a razão entre áreas consecutivas é
r_{\text{área}}=\big(r_{\text{lado}}\big)^{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2}.á
  • Assim as áreas formam uma progressão geométrica com primeiro termo A_{1}=a^{2} e razão r=\tfrac{1}{2}. Ou seja, para k\ge1,
A_{k}=a^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}.

Passo 5

Recordar e demonstrar a fórmula da soma finita de uma progressão geométrica (didático e passo a passo).
  • Seja uma progressão geométrica com primeiro termo A_{1} e razão r (com r\neq1). A soma dos n primeiros termos é
S_{n}=A_{1}+A_{1}r+A_{1}r^{2}+\cdots+A_{1}r^{n-1}.
  • Multiplicando ambos os lados por r:
rS_{n}=A_{1}r+A_{1}r^{2}+\cdots+A_{1}r^{n}.
  • Subtraindo as duas equações S_{n}-rS_{n} cancela quase todos os termos:
S_{n}-rS_{n}=A_{1}-A_{1}r^{n}.
  • Fatorando S_{n}(1-r)=A_{1}(1-r^{n}). Como r\neq1, temos
S_{n}=\frac{A_{1}\big(1-r^{n}\big)}{1-r}.

Passo 6

Aplicar a fórmula da soma ao nosso caso (substituindo A_{1}=a^{2} e r=\tfrac{1}{2}).
  • Substituindo em \displaystyle S_{n}=\frac{A_{1}\big(1-r^{n}\big)}{1-r} obtemos
S_{n}=\frac{a^{2}\Big(1-\big(\tfrac{1}{2}\big)^{n}\Big)}{1-\tfrac{1}{2}}.
  • Como 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}, isso simplifica para
S_{n}=2a^{2}\Big(1-\Big(\tfrac{1}{2}\Big)^{n}\Big).

Passo 7

Interpretação final e observação extra (útil na prova).
  • A expressão anterior é a soma exata das áreas dos n quadrados Q_{1} até Q_{n}.
  • Observação útil: se deixarmos n\to\infty a soma converge para 2a^{2}, porque \lim_{n\to\infty}\big(\tfrac{1}{2}\big)^{n}=0. Assim a soma infinita vale 2a^{2}.

Resposta

S_{n}=2a^{2}\Big(1-\Big(\tfrac{1}{2}\Big)^{n}\Big)

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