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Encontre um fator integrante e resolva a equação diferencial
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Encontre um fator integrante e resolva a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, e para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante. Vamos precisar entender como encontrar esse fator e aplicar a solução adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para o formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
na fórmula:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Isso facilita a integração.
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e do lado direito:
Então temos:
Passo 7
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.