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Encontre um fator integrante e resolva a equação diferencial y' = e^(2x) + y - 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, e para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante. Vamos precisar entender como encontrar esse fator e aplicar a solução adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para o formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Isso facilita a integração.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e do lado direito:
Então temos:

Passo 7

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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