37
Mostre que as trajetórias ortogonais para a família de curvas
, sendo
um parâmetro real, satisfazem
Encontre as trajetórias ortogonais resolvendo a equação anterior. Esboce a família de curvas, juntamente com suas trajetórias ortogonais. [Dica: tente multiplicar a equação por
como no Problema 6.]
Mostre que as trajetórias ortogonais para a família de curvas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que as trajetórias ortogonais da família de curvas
satisfazem a equação diferencial dada. Depois, precisamos resolver essa equação para encontrar essas trajetórias ortogonais e, por fim, esboçar tanto a família original de curvas quanto suas trajetórias ortogonais. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especialmente o de trajetórias ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a família de curvas dada:
. Essa é a equação de uma circunferência com raio variável dependendo do parâmetro
. Queremos encontrar as curvas que são perpendiculares a todas essas circunferências em cada ponto de interseção.
Passo 3
Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos derivar a equação da família de curvas em relação a
. Vamos fazer isso:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Rearranjando para
:
Passo 4
As trajetórias ortogonais têm inclinação negativa recíproca das curvas originais. Portanto, a derivada das trajetórias ortogonais será:
Mas como queremos uma equação que não dependa de
, vamos expressar
a partir da equação original
.
Passo 5
Substituindo
na expressão da derivada:
Simplificando:
Passo 6
Agora, rearranjando essa expressão para obter a equação diferencial:
Essa é a equação diferencial que as trajetórias ortogonais satisfazem, conforme solicitado.
Passo 7
Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar as trajetórias ortogonais. Primeiro, identificamos que é uma equação diferencial linear exata ou que pode ser tornada exata multiplicando por um fator integrante
.
Multiplicando a equação por
:
Passo 8
Agora, verificamos se a equação é exata:
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos de um fator integrante. Observando a dica, vamos tentar multiplicar por
.
Passo 9
Após tentar diferentes valores para
e
, encontramos que multiplicar por
torna a equação exata. Então, a equação multiplicada fica:
Simplificando:
Passo 10
Agora, a equação é exata, então existe uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Então,
No entanto, isso não faz sentido, indicando que precisamos revisar o fator integrante. Na verdade, o fator integrante correto é
, multiplicando a equação original:
Passo 11
Agora, verificamos exatidão:
Calculando as derivadas parciais:
Ainda não é exata. Parece que precisamos ajustar melhor o fator integrante. Vamos considerar que o fator integrante é
.
Passo 12
Multiplicando a equação original por
:
Simplificando:
Ainda não exata. Vamos então resolver de outra forma, separando as variáveis:
Isso leva a:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Simplificando:
Então, as trajetórias ortogonais são dadas por:
Resposta
As trajetórias ortogonais para a família de curvas
são dadas por
, onde
é uma constante real. No esboço, as circunferências
aparecem como círculos deslocados no plano, e suas trajetórias ortogonais são curvas cúbicas que intersectam essas circunferências perpendicularmente em cada ponto de interseção.