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Mostre que as trajetórias ortogonais para a família de curvas x^2 + y^2 = k * x, sendo k um parâmetro real, satisfazem
(2*y*x^(-1))dx + (y^2*x^(-2) - 1)dy = 0
Encontre as trajetórias ortogonais resolvendo a equação anterior. Esboce a família de curvas, juntamente com suas trajetórias ortogonais. [Dica: tente multiplicar a equação por x^n y^m como no Problema 6.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que as trajetórias ortogonais da família de curvas satisfazem a equação diferencial dada. Depois, precisamos resolver essa equação para encontrar essas trajetórias ortogonais e, por fim, esboçar tanto a família original de curvas quanto suas trajetórias ortogonais. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especialmente o de trajetórias ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a família de curvas dada: . Essa é a equação de uma circunferência com raio variável dependendo do parâmetro . Queremos encontrar as curvas que são perpendiculares a todas essas circunferências em cada ponto de interseção.

Passo 3

Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos derivar a equação da família de curvas em relação a . Vamos fazer isso:
Derivando ambos os lados em relação a :
Rearranjando para :

Passo 4

As trajetórias ortogonais têm inclinação negativa recíproca das curvas originais. Portanto, a derivada das trajetórias ortogonais será:
Mas como queremos uma equação que não dependa de , vamos expressar a partir da equação original .

Passo 5

Substituindo na expressão da derivada:
Simplificando:

Passo 6

Agora, rearranjando essa expressão para obter a equação diferencial:
Essa é a equação diferencial que as trajetórias ortogonais satisfazem, conforme solicitado.

Passo 7

Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar as trajetórias ortogonais. Primeiro, identificamos que é uma equação diferencial linear exata ou que pode ser tornada exata multiplicando por um fator integrante .
Multiplicando a equação por :

Passo 8

Agora, verificamos se a equação é exata:
e
Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos de um fator integrante. Observando a dica, vamos tentar multiplicar por .

Passo 9

Após tentar diferentes valores para e , encontramos que multiplicar por torna a equação exata. Então, a equação multiplicada fica:
Simplificando:

Passo 10

Agora, a equação é exata, então existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Derivando em relação a :
Então,
No entanto, isso não faz sentido, indicando que precisamos revisar o fator integrante. Na verdade, o fator integrante correto é , multiplicando a equação original:

Passo 11

Agora, verificamos exatidão:
e
Calculando as derivadas parciais:
Ainda não é exata. Parece que precisamos ajustar melhor o fator integrante. Vamos considerar que o fator integrante é .

Passo 12

Multiplicando a equação original por :
Simplificando:
Ainda não exata. Vamos então resolver de outra forma, separando as variáveis:
Isso leva a:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Simplificando:
Então, as trajetórias ortogonais são dadas por:
, onde é uma constante.

Resposta

As trajetórias ortogonais para a família de curvas são dadas por , onde é uma constante real. No esboço, as circunferências aparecem como círculos deslocados no plano, e suas trajetórias ortogonais são curvas cúbicas que intersectam essas circunferências perpendicularmente em cada ponto de interseção.

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