Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra da potência e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Para derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes. Usamos a regra da potência, que diz que se
, então
.
Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui,
e
são tratados como constantes. A função
pode ser reescrita usando logaritmos para facilitar a diferenciação:
Agora, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Então:
Como
, fica:
Passo 4
Finalmente, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente,
e
são constantes. Usamos a mesma abordagem com logaritmos:
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: