Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
u = x^(y^z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra da potência e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é . Para derivar em relação a , tratamos e como constantes. Usamos a regra da potência, que diz que se , então .
Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aqui, e são tratados como constantes. A função pode ser reescrita usando logaritmos para facilitar a diferenciação:
Agora, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Então:
Como , fica:

Passo 4

Finalmente, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, e são constantes. Usamos a mesma abordagem com logaritmos:
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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