Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=integraly^x e^t / t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma função que é definida por uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma função definida por uma integral com limites que dependem das variáveis, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar suas derivadas. Esse teorema nos diz que se , então .

Passo 3

No nosso caso, a função é uma integral de até da função . Para encontrar a derivada parcial em relação a , consideramos como uma constante.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a derivada parcial em relação a partial fpartial x = e^xx :
Isso porque estamos derivando a integral em relação ao limite superior , mantendo constante.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a . Aqui, está no limite inferior da integral, e precisamos lembrar que a derivada em relação ao limite inferior traz um sinal negativo.

Passo 6

Aplicando isso:
partial fpartial y = -e^yy
O sinal negativo aparece porque estamos diferenciando em relação ao limite inferior da integral.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial fpartial x = e^xx e partial fpartial y = -e^yy

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