Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer que a gente encontre as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a
e a
, mantendo a outra variável constante. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a derivada da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante. A função
é um produto de duas funções de
:
e
. Para derivar o produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra do produto:
Sabemos que
e que
. Neste caso,
, então
.
Passo 4
Substituindo as derivadas:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante. A função
depende de
apenas na parte
.
Passo 6
Derivando em relação a
:
Usando a regra da cadeia novamente, temos
com
, então
.
Passo 7
Substituindo as derivadas:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e