Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y) = e^x * tg(x - y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer que a gente encontre as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a e a , mantendo a outra variável constante. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a derivada da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante. A função é um produto de duas funções de : e . Para derivar o produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto:
Sabemos que e que . Neste caso, , então .

Passo 4

Substituindo as derivadas:
Podemos fatorar :

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante. A função depende de apenas na parte .

Passo 6

Derivando em relação a :
Usando a regra da cadeia novamente, temos com , então .

Passo 7

Substituindo as derivadas:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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