• 30 Qual é a energia armazenada em 1,00 \mathrm{~m}^{3} de ar em um dia de “tempo bom”, no qual o módulo do campo elétrico da atmosfera é 150 \mathrm{~V} / \mathrm{m} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa:
  • Volume do ar: \,V=1{,}00\\ \mathrm{m^{3}}\,.
  • Módulo do campo elétrico da atmosfera: \,E=150\\ \mathrm{V/m}\,.
    O que se pede: calcular a energia armazenada nesse volume de ar sob esse campo elétrico.

Passo 2

Qual fórmula usar: energia armazenada pelo campo elétrico por unidade de volume (densidade de energia elétrica). A densidade de energia elétrica é dada por
u=\tfrac{1}{2}\,\varepsilon\,E^{2}.
Aqui:
  • \,u\, é a densidade de energia (energia por unidade de volume) em \mathrm{J/m^{3}}.
  • \,\varepsilon\, é a permissividade do meio. No caso do ar, podemos tomar \varepsilon\approx\varepsilon_{0}, a permissividade do vácuo.
  • \,E\, é o módulo do campo elétrico em \mathrm{V/m}.
Breve motivo dessa fórmula (didático): imagine um capacitor paralelo com capacitância \,C=\varepsilon A/d\,, tensão \,V=E d\, e volume entre placas \,V_{\text{vol}}=A d. A energia do capacitor é \,W=\tfrac{1}{2}CV^{2}. Substituindo C e V obtém-se W=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^{2}Ad. Dividindo por Ad chega-se à densidade \,u=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^{2}.

Passo 3

Valores numéricos que vamos usar:
  • Tomamos \,\varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} (permissividade do vácuo; para ar é uma boa aproximação).
  • \,E=150\\ \mathrm{V/m}.
  • Volume físico onde queremos a energia: \,V_{\text{volume}}=1{,}00\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Calcular o quadrado do campo:
E^{2}=(150)^{2}=22500\\ \mathrm{(V^{2}/m^{2})}.

Passo 5

Calcular \varepsilon_{0}E^{2}:
\varepsilon_{0}E^{2}=(8{,}854\times10^{-12})\times22500=1{,}99215\times10^{-7}\\ \mathrm{(SI)}.

Passo 6

Agora a densidade de energia:
u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}=\tfrac{1}{2}\times1{,}99215\times10^{-7}=9{,}96075\times10^{-8}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
Arredondando com três algarismos significativos:
u\approx9{,}96\times10^{-8}\\ \mathrm{J/m^{3}}.

Passo 7

Energia total no volume dado: multiplicar a densidade pelo volume.
W = u\times V_{\text{volume}} = \bigl(9{,}96\times10^{-8}\bigr)\times(1{,}00)=9{,}96\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.

Resposta

9{,}96\times10^{-8}\\ \mathrm{J}

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