Seja P uma funçāo de probabilidade em S=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}\right\}. Encontre P\left(a_{1}\right), se
P\left(a_{1}\right)=2 P\left(a_{2}\right) e P\left(a_{3}\right)=\frac{1}{4}.

Passo 1

O enunciado dá um espaço amostral S=\{a_{1},a_{2},a_{3}\} e pede para encontrar P(a_{1}). As informações fornecidas são:
  • P(a_{1})=2\,P(a_{2}).
  • P(a_{3})=\dfrac{1}{4}.
    Além disso, como estamos lidando com uma função de probabilidade discreta, vale sempre que as probabilidades são não-negativas e que a soma das probabilidades de todos os pontos do espaço amostral é 1. Ou seja:
P(a_{1})\ge 0,\qquad P(a_{2})\ge 0,\qquad P(a_{3})\ge 0,
e
P(a_{1})+P(a_{2})+P(a_{3})=1.

Passo 2

Para simplificar a escrita, defino:
p_{1}=P(a_{1}),\qquad p_{2}=P(a_{2}),\qquad p_{3}=P(a_{3}).
Das informações do enunciado temos:
p_{1}=2p_{2}\qquad\text{e}\qquad p_{3}=\frac{1}{4}.

Passo 3

Usando a soma das probabilidades igual a 1, escrevo a equação com as incógnitas:
p_{1}+p_{2}+p_{3}=1.
Substituo p_{1}=2p_{2} e p_{3}=\dfrac{1}{4} nessa equação:
2p_{2}+p_{2}+\frac{1}{4}=1.

Passo 4

Resolvo a equação passo a passo. Primeiro somo os termos em p_{2}:
3p_{2}+\frac{1}{4}=1.
Agora isolo 3p_{2} subtraindo \dfrac{1}{4} de ambos os lados:
3p_{2}=1-\frac{1}{4}.
Calculo o lado direito:
1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4},
portanto
3p_{2}=\frac{3}{4}.
Divido ambos os lados por 3 para obter p_{2}:
p_{2}=\frac{3/4}{3}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Com p_{2}=\dfrac{1}{4}, calculo p_{1}=2p_{2}:
p_{1}=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Faço uma verificação rápida para garantir que tudo está consistente:
p_{1}+p_{2}+p_{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+ \frac{2}{4}=\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}=1,
e todas as probabilidades são não-negativas. Está correto.

Resposta

\displaystyle P(a_{1})=\frac{1}{2}

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