Um tamque esférico, com diâmetro
, apresenta um furo, com diâmetro
, localizado na sua parte mais baixa. O tamque é ventilado, ou seja, a pressão na superfície livre do líquido do quanque é sempre igual a pressão atmosférica. Inicialmente, o tanque estava cheio e o escoamento do líquido através de d pode ser modelado como quase permanente e sem atrito. Determine como varia a altura da superfície livre do líquido no tanque em função do tempo. Contrua um gráfico de
para cada um dos seguinte diâmetros D:
e 6 m . Considere d
.
Passo 1
O enunciado trata do escoamento de esvaziamento de um tanque esférico através de um orifício de diâmetro
localizado no ponto mais baixo. A pressão na superfície livre é atmosférica e o escoamento é incompressível, quase permanente e sem atrito. O que precisamos usar é:
- A lei de Torricelli para velocidade de saída
. - A relação de conservação de massa (dérivada do balanço de volumes).
- A expressão do volume de um calote esférico de altura
.
Passo 2
Calculemos o volume de líquido contido no tanque até a altura
(medida a partir do fundo). O tanque é uma esfera de raio
. O volume de um calote esférico de altura
é
Diferenciando em relação a
obtemos
Passo 3
Pela conservação de massa (ou de volume, considerando densidade constante), a vazão de saída vale
onde
é a área do orifício e usamos
.
Passo 4
Relacionando
logo
Passo 5
Separe variáveis e integre de
(tanque cheio) até
:
Calcule a integral do lado esquerdo:
Passo 6
Substituindo nos limites
e reorganizando, obtemos a relação implícita
Esta é a lei horária
em forma implícita.
Passo 7
Para esvaziar totalmente, basta pôr
. O tempo total de esvaziamento vale
Com
,
e
, temos:
-
( ) . -
( ) . -
( ) . -
( ) .
Passo 8
O gráfico qualitativo de
mostra esvaziamento mais rápido para os tanques menores e mais lento para os maiores. Em todos os casos
decresce de
a zero, com declividade inicial grande (pois
domina) e achatando-se conforme
.
Resposta
A altura
satisfaz implicitamente
Os tempos totais de esvaziamento para
,
,
e
são, respectivamente, cerca de
,
,
e
.