Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a 2,0 \mathrm{~m} e taludes de 3 \mathrm{H}: 1 \mathrm{~V}, \mathrm{n}=0,018 e I=0,03% escoa uma vazão, de modo que, em relação a uma galeria circular, a sua área molhada é 2,5 vezes maior que a da galeria, a largura da superfície livre, 3 vezes maior e os números de Froude dos dois escoamentos são iguais. Isso ocorre quando a galeria transporta uma vazão de 1,2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Determine a vazão do canal e o tipo de escoamento para essa coincidência ocorrer.

Passo 1

O enunciado trata de dois escoamentos em aberto com igual inclinação I=0{,}03\% e mesmo coeficiente de Manning n=0{,}018:
– Um canal trapezoidal de base b=2{,}0 m e taludes 3\text{H}:1\text{V}.
– Uma galeria circular que transporta \,Q_g=1{,}2\;\mathrm{m^3/s}.
Queremos o valor da vazão Q_t no canal trapezoidal para que, comparado à galeria, se tenha
  1. \displaystyle \frac{A_t}{A_g}=2{,}5, onde A é a área molhada;
  2. \displaystyle \frac{B_t}{B_g}=3, onde B é a largura da superfície livre;
  3. números de Froude iguais ( F_t=F_g).
    Usaremos a definição de Froude para canais rasos e proporções entre as quantidades dadas.

Passo 2

O número de Froude em canal é
F = \frac{V}{\sqrt{g\,D_h}}
com V=Q/A e D_h=A/B. Igualando F_t=F_g temos
\frac{V_t}{\sqrt{g\,(A_t/B_t)}} \;=\; \frac{V_g}{\sqrt{g\,(A_g/B_g)}}.
Substituindo V_t=Q_t/A_t e V_g=Q_g/A_g, e cancelando \sqrt{g}, obtemos
\frac{Q_t/A_t}{\sqrt{A_t/B_t}} = \frac{Q_g/A_g}{\sqrt{A_g/B_g}} \quad\Longrightarrow\quad Q_t =Q_g\;\frac{A_t}{A_g}\, \sqrt{\frac{A_t/B_t}{A_g/B_g}}.
Como \,A_t/A_g=2{,}5 e B_t/B_g=3, vem
\frac{A_t/B_t}{A_g/B_g} = \frac{A_t}{A_g}\,\frac{B_g}{B_t} =2{,}5\;\frac{1}{3} =\tfrac{2{,}5}{3},
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Q_t =Q_g\;2{,}5\;\sqrt{\tfrac{2{,}5}{3}} =1{,}2\;\times2{,}5\;\sqrt{0{,}8333} \approx1{,}2\times2{,}2822 \approx2{,}74\;\mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Para classificar o escoamento (sub ou supercrítico), basta calcular um dos Froude. Façamos em g=9{,}81\;\mathrm{m/s^2} para a galeria circular cheia.
  1. Determinamos o diâmetro D da galeria pela equação de Manning para escoamento completo em tubo:
Q_g =\frac{1}{n}\;A_g\,R_g^{2/3}\sqrt{I},
com A_g=\tfrac{\pi D^2}{4} e R_g=D/4. Substituindo n=0{,}018, I=0{,}0003 e Q_g=1{,}2 resulta
D\approx1{,}68\;\mathrm{m}.
A_g=\frac{\pi D^2}{4}\approx2{,}22\;\mathrm{m^2}, \quad B_g=D\approx1{,}68\;\mathrm{m}, \quad V_g=\frac{Q_g}{A_g}\approx0{,}54\;\mathrm{m/s}.
  1. O número de Froude é
F_g =\frac{V_g}{\sqrt{g\,(A_g/B_g)}} \approx\frac{0{,}54}{\sqrt{9{,}81\,(2{,}22/1{,}68)}} \approx0{,}15 <1,
portanto subcrítico. Como F_t=F_g, o canal trapezoidal também estará em escoamento subcrítico.

Resposta

Vazão do canal trapezoidal: Q_t\approx2{,}74\;\mathrm{m^3/s}.
Tipo de escoamento: subcrítico (tranquilo).

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