30 pontos:
Para e=(40 x+30 z) cos (omega t-beta r)+50 sin (omega t-beta r) y[V / m] e omega=500[Mrad / s], determine:
a) Campo magnético correspondente;
b) Polarização. Justifique;
c) Densidade de energia no campo elétrico é igual ao do campo magnético? O meio é dielétrico perfeito ou condutor real?

Passo 1

O enunciado nos dá uma onda eletromagnética plana no espaço com campo elétrico
E(vec r,t)=(40,hat x+30,hat z),cosl(omega t-vecbetacdotvec rr) +50,hat y,sinl(omega t-vecbetacdotvec rr) [V/m]
e omega=500,[Mrad/s]=5times10^8,rad/s.
Queremos
a) o campo magnético vec B correspondente,
b) a polarização da onda,
c) verificar se a densidade de energia elétrica é igual à magnética e classificar o meio.
Para isso usamos as equações de Maxwell para onda plana, a relação entre vec E e vec B, e as expressões de densidade de energia em ondas eletromagnéticas.

Passo 2

Para uma onda plana sem cargas nem correntes livres, a lei de Faraday e a forma de onda implicam
nablatimesE=-partialBpartial t ;Longrightarrow; vecbetatimesE0=omega,B0,
onde vec E0 e vec B0 são as amplitudes vetoriais. Logo a solução para vec B é
boxedB(vec r,t);=;1omega,vecbetatimesE(vec r,t)

Passo 3

Substituindo phi=omega t-vecbetacdotvec r e vec E(vec r,t) na fórmula acima, obtemos
B(vec r,t) =1omega,vecbetatimesl[(40,hat x+30,hat z)cosphi +50,hat ysinphir]
Em particular, se for no vácuo vecbeta=(omega/c),hat k, então
boxedB(vec r,t) =1c,hat ktimesl[(40,hat x+30,hat z)cosphi +50,hat ysinphir],
com capprox3times10^8rm;m/s.

Passo 4

A polarização é dada pela trajetória descrita pelo vetor vec E no plano perpendicular à direção hat k. Note que as componentes Ex e Ez estão em fase ( proptocosphi), enquanto Ey está defasada de 90^circ ( proptosinphi). Isso faz com que o extremo do vetor vec E descreva, ao longo do tempo, uma elipse. Portanto a onda está elipticamente polarizada.

Passo 5

As densidades de energia elétrica e magnética são
uE=tfrac12,varepsilon,E^2, uB=tfrac12mu,B^2
Para uma onda plana em meio não dissipativo (como o vácuo ou um dielétrico perfeito) vale E=cB e muvarepsilon=1/c^2, de modo que
uE=tfrac12,varepsilon E^2 =tfrac12,varepsilon(cB)^2 =tfrac12muB^2 =uB
Logo sim, uE=uB. Como não há atenuação nem perdas, o meio é um dielétrico perfeito, não um condutor real.

Resposta

a) B(vec r,t)=1omega,vecbetatimesE(vec r,t), e em vácuo
B=1c,hat ktimesl[(40hat x+30hat z)cosphi+50hat ysinphir]
b) A onda é elipticamente polarizada, pois há defasagem de 90^circ entre Ey e as componentes Ex,Ez.
c) Sim, uE=uB. O meio é dielétrico perfeito.

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