(2,0) Esquematize a trajetória de uma partícula que se move no plano x y, de acordo com as equações: x(t)=xm cos (omega t-pi / 6) e y(t)=xm cos (omega t).

Passo 1

O exercício pede pra gente esquematizar a trajetória de uma partícula no plano xy, cujas coordenadas são dadas pelas equações paramétricas x(t)=xmcos(omega t-pi/6) e y(t)=xmcos(omega t). O assunto é curvas paramétricas e vamos precisar usar identidades trigonométricas e a relação sin^2u+cos^2u=1.

Passo 2

Primeiro a gente usa a identidade de cosseno da diferença para reescrever x(t) em termos de cos(omega t) e sin(omega t):

Passo 3

x = xml(tfracraiz32cos(omega t)+tfrac12sin(omega t)r)
y = xmcos(omega t)

Passo 4

Agora a gente elimina o parâmetro omega t. Como tfracyxm=cos(omega t), isolamos sin(omega t) na expressão de x:

Passo 5

sin(omega t)=2xxm-raiz3yxm
Aplicando a identidade sin^2(omega t)+cos^2(omega t)=1 vem:

Passo 6

l(2xxm-raiz3yxmr)^2+l(yxmr)^2=1
Multiplicando tudo por xm^2 e expandindo, a gente chega em:

Passo 7

4x^2-4raiz3,x,y+4y^2=xm^2
Isso mostra que a curva é uma elipse centrada na origem e inclinada em relação aos eixos.

Passo 8

No instante t=0 a partícula está em l(tfracraiz32xm,,xmr) e, analisando o sinal das derivadas, o movimento segue no sentido horário.

Resposta

Trajetória: elipse dada por
4x^2-4raiz3,x,y+4y^2=xm^2
inclinada em relação ao eixo x e percorrida no sentido horário, começando em l(tfracraiz32xm,,xmr).

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