- ( 30 pontos) Assinale
para verdadeiro ou
para falso nas questões abaixo e justifique sua
resposta.
a) ( ) Toda matriz quadrada é inversível.
b) () O produto de duas matrizes de ordem distinta nunca resulta em uma matriz de ordem 1.
c) ( ) Suponha que as matrizes satisfazem
. Se existir uma matriz
tal que
, onde I
é a matriz identidade, então podemos afirmar que
.
d) ()
.
e) ( ) Todo sistema linear homogêneo, ou seja, que possui matriz dos termos independentes nula
, com
equações e
incógnitas possui ao menos uma solução.
f) () Determinante da Matriz Reduzida A_-i,-j menor que o determinante da Matriz A.
resposta.
a) ( ) Toda matriz quadrada é inversível.
b) () O produto de duas matrizes de ordem distinta nunca resulta em uma matriz de ordem 1.
c) ( ) Suponha que as matrizes satisfazem
é a matriz identidade, então podemos afirmar que
d) ()
e) ( ) Todo sistema linear homogêneo, ou seja, que possui matriz dos termos independentes nula
f) () Determinante da Matriz Reduzida A_-i,-j menor que o determinante da Matriz A.
Passo 1
O enunciado traz seis afirmações sobre matrizes e determinantes e pede para marcar
(verdadeiro) ou
(falso), justificando cada uma.
Conteúdos necessários: definição de matriz inversível, condições de existência de produto de matrizes, propriedades de determinante (homogeneidade), solução trivial de sistemas homogêneos e conceito de menor de matriz.
Conteúdos necessários: definição de matriz inversível, condições de existência de produto de matrizes, propriedades de determinante (homogeneidade), solução trivial de sistemas homogêneos e conceito de menor de matriz.
Passo 2
a) “Toda matriz quadrada é inversível.”
Uma matriz quadrada é inversível somente se existir
, o que exige
. Porém existem matrizes quadradas singulares com
, que não são inversíveis.
Logo, a afirmação é falsa.
Uma matriz quadrada
Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
b) “O produto de duas matrizes de ordem distinta nunca resulta em uma matriz de ordem
.”
Considere de tamanho
e
de tamanho
. Ambas têm ‘ordens’ (número de linhas e colunas) distintas, mas o produto
Considere
é bem definido e tem dimensão
, ou seja, ordem
.
Portanto, a afirmação é falsa.
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
c) “Suponha que
. Se existir
tal que
, então podemos afirmar que
.”
Multiplicando à esquerda por
dá
Multiplicando
Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
d) “
.”
Para uma matriz de ordem
vale a propriedade
Para uma matriz
não simplesmente
. Só quando
isso coincide com
. Em geral, é falso.
Passo 6
e) “Todo sistema linear homogêneo com
equações e
incógnitas possui ao menos uma solução.”
Qualquer sistema homogêneo sempre admite a solução trivial
.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Qualquer sistema homogêneo
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 7
f) “Determinante da matriz reduzida
menor que o determinante da matriz
.”
Não existe relação geral de desigualdade entre (o menor complementar) e
; valores podem ser maiores, menores ou até negativos em módulo.
Logo, a afirmação é falsa.
Não existe relação geral de desigualdade entre
Logo, a afirmação é falsa.
Resposta
a) F
b) F
c) V
d) F
e) V
f) F
b) F
c) V
d) F
e) V
f) F