1. ( 30 pontos) Assinale V para verdadeiro ou F para falso nas questões abaixo e justifique sua
    resposta.
    a) ( ) Toda matriz quadrada é inversível.
    b) () O produto de duas matrizes de ordem distinta nunca resulta em uma matriz de ordem 1.
    c) ( ) Suponha que as matrizes satisfazem A B=A C. Se existir uma matriz Y tal que Y A=I, onde I
    é a matriz identidade, então podemos afirmar que B=C.
    d) () \operatorname{det}(5 A)=5 \operatorname{det} A.
    e) ( ) Todo sistema linear homogêneo, ou seja, que possui matriz dos termos independentes nula b=[0,0, \ldots, 0]^{\wedge} t, com n equações e n incógnitas possui ao menos uma solução.
    f) () Determinante da Matriz Reduzida A_-i,-j menor que o determinante da Matriz A.

Passo 1

O enunciado traz seis afirmações sobre matrizes e determinantes e pede para marcar V (verdadeiro) ou F (falso), justificando cada uma.
Conteúdos necessários: definição de matriz inversível, condições de existência de produto de matrizes, propriedades de determinante (homogeneidade), solução trivial de sistemas homogêneos e conceito de menor de matriz.

Passo 2

a) “Toda matriz quadrada é inversível.”
Uma matriz quadrada A é inversível somente se existir A^{-1}, o que exige \det(A)\neq0. Porém existem matrizes quadradas singulares com \det(A)=0, que não são inversíveis.
Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

b) “O produto de duas matrizes de ordem distinta nunca resulta em uma matriz de ordem 1.”
Considere A de tamanho 1\times 2 e B de tamanho 2\times 1. Ambas têm ‘ordens’ (número de linhas e colunas) distintas, mas o produto
AB
é bem definido e tem dimensão 1\times 1, ou seja, ordem 1.
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

c) “Suponha que AB=AC. Se existir Y tal que YA=I, então podemos afirmar que B=C.”
Multiplicando AB=AC à esquerda por Y
Y(AB)=Y(AC)\quad\Rightarrow\quad (YA)B=(YA)C\quad\Rightarrow\quad IB=IC\quad\Rightarrow\quad B=C.
Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

d) “ \det(5A)=5\det(A).”
Para uma matriz A de ordem n vale a propriedade
\det(kA)=k^n\det(A),
não simplesmente k\det(A). Só quando n=1 isso coincide com 5\det(A). Em geral, é falso.

Passo 6

e) “Todo sistema linear homogêneo com n equações e n incógnitas possui ao menos uma solução.”
Qualquer sistema homogêneo A\mathbf{x}=0 sempre admite a solução trivial \mathbf{x}=0.
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 7

f) “Determinante da matriz reduzida A_{-i,-j} menor que o determinante da matriz A.”
Não existe relação geral de desigualdade entre \det(A_{-i,-j}) (o menor complementar) e \det(A); valores podem ser maiores, menores ou até negativos em módulo.
Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

a) F
b) F
c) V
d) F
e) V
f) F

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