(30 pontos) Dado o sistema abaixo, use o método de decomposição LU para determinar a
solução do sistema. Assim, ache as matrizes triangulares inferior (L) e superior (U) e depois use
a relação A X=b L(U X)=b para solucionar o sistema.
x-2 y=1
2 x+2 y-z=1
-2 x+y+z=1 / 2
Passo 1
O enunciado pede a solução do sistema
\begin{cases} x - 2y = 1,\\\\ 2x + 2y - z = 1,\\\\ -2x + y + z = \tfrac12 \end{cases}
pelo método de decomposição LU. Ou seja, vamos fatorar A=LU com L triangular inferior e U triangular superior, e depois resolver LY=b e UX=Y.
Para obter LU sem pivotamento, aplicamos eliminações na primeira coluna: l_{21} = 2, l_{31} = -2. Subtraindo 2 vezes a linha 1 da linha 2 e -2 vezes a linha 1 da linha 3, obtemos