1. (30 pontos) Dado o sistema abaixo, use o método de decomposição LU para determinar a
    solução do sistema. Assim, ache as matrizes triangulares inferior (L) e superior (U) e depois use
    a relação A X=b L(U X)=b para solucionar o sistema.
x-2 y=1
2 x+2 y-z=1
-2 x+y+z=1 / 2

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema
\begin{cases} x - 2y = 1,\\\\ 2x + 2y - z = 1,\\\\ -2x + y + z = \tfrac12 \end{cases}
pelo método de decomposição LU. Ou seja, vamos fatorar A=LU com L triangular inferior e U triangular superior, e depois resolver LY=b e UX=Y.

Passo 2

Temos
A = \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\[6pt] 2 & 2 & -1 \\\ [6pt] -2 & 1 & 1\end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix}1 \\\ [3pt] 1 \\\ [3pt] \tfrac12\end{pmatrix}.
Para obter LU sem pivotamento, aplicamos eliminações na primeira coluna:
l_{21} = 2, l_{31} = -2. Subtraindo 2 vezes a linha 1 da linha 2 e -2 vezes a linha 1 da linha 3, obtemos
U^{(1)} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 6 & -1\\\\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
Em seguida, na segunda coluna: l_{32} = \frac{-3}{6} = -\tfrac12. Eliminando o -3 da posição (3,2), ficamos com
U = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 6 & -1\\\\ 0 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix},\quad L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ -2 & -\tfrac12 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Resolvendo LY=b por substituição à frente:
y_1 = 1.
y_2 = 1 - 2\cdot y_1 = 1 - 2 = -1.
y_3 = \tfrac12 -\bigl((-2)\cdot y_1 +(-\tfrac12)\cdot y_2\bigr) = \tfrac12 -\bigl(-2 + \tfrac12\bigr) = \tfrac12 + \tfrac32 = 2.
Logo
Y = \begin{pmatrix}1\\\\ -1\\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Resolvendo UX=Y por substituição reversa:
Da terceira linha, \tfrac12\,x_3 = 2 implica x_3 = 4.
Da segunda, 6\,x_2 - x_3 = -1 6\,x_2 - 4 = -1, logo x_2 = \tfrac12.
Da primeira, x_1 - 2\,x_2 = 1 x_1 - 1 = 1, logo x_1 = 2.

Resposta

x = 2,\quad y = \tfrac12,\quad z = 4.

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