Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(-1,2,-1), B=(2,3,1) e C=(3,-1,1).
Escolha uma opção:
a. 8 x+2 y-5 z-17=0
b. 10 x-6 y-17 z-19=0
c. -2 x-6 y+7 z-7=0
d. 8 x+2 y-17 z-5=0
e. 8 x+2 y-13 z-9=0

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa por A = (-1,2,-1), B = (2,3,1) e C = (3,-1,1). Estamos usando Geometria Analítica no espaço e, para isso, vamos precisar de dois vetores diretores do plano e do produto vetorial para encontrar um vetor normal.

Passo 2

Calculamos os vetores que ligam A a B e A a C:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - (-1),\,3 - 2,\,1 - (-1)) = (3,1,2),
\overrightarrow{AC} = C - A = (3 - (-1),\,-1 - 2,\,1 - (-1)) = (4,-3,2).

Passo 3

O vetor normal \overrightarrow{n} ao plano é dado pelo produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Assim,
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (3,1,2)\times(4,-3,2) = (8,\,2,\,-13).

Passo 4

Usando a forma \overrightarrow{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0, temos
8(x+1) \;+\; 2(y-2)\;-\;13(z+1)\;=\;0.
Expandindo,
8x +2y -13z \;+\;(8-4-13)\;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad 8x +2y -13z -9 = 0.

Resposta

e. 8x+2y-13z-9=0

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