(30 pontos) Considere a, b, c os três últimos dígitos não nulos de sua matrícula. Seja T o sólido limitado pelos planos x=c-b, y=c-a, z=b-a e pelo plano
(a-b) x+(b-c) y+(c-a) z=1
com densidade variável dada por
\rho(x, y, z)=\left|x^{a} y^{a+1} z^{2 b}\right| .
Calcule o centro de massa do sólido T.

Passo 1

O enunciado define o sólido T como o tetraedro limitado pelas quatro faces
  1. x=c-b,
  2. y=c-a,
  3. z=b-a,
  4. (a-b)x+(b-c)y+(c-a)z=1,
    e dá densidade variável
\rho(x,y,z)\;=\;\bigl|\,x^{a}\,y^{a+1}\,z^{2b}\bigr|\,.
O que precisamos é aplicar o conceito de centro de massa com densidade variável, isto é, calcular
M \;=\;\iiint_{T}\rho\,dV, \quad \bar x \;=\;\frac1M\iiint_{T}x\,\rho\,dV, \quad \bar y \;=\;\frac1M\iiint_{T}y\,\rho\,dV, \quad \bar z \;=\;\frac1M\iiint_{T}z\,\rho\,dV.
Para isso vamos:
  • (i) parametrizar convenientemente T como um tetraedro padrão via mudança de variáveis afim;
  • (ii) usar que as integrais de monômios num tetraedro padrão se reduzem a valores de funções Beta (ou fatoriais);
  • (iii) montar M e os momentos M_x,M_y,M_z;
  • (iv) obter \bar x,\bar y,\bar z.

Passo 2

Interpretação geométrica e mudança para tetraedro padrão
  1. Escrevemos a equação da face inclinada como
(a-b)x+(b-c)y+(c-a)z=1.
Seus interceptos com os eixos são
x\text{-intercepto}=\frac1{a-b},\quad y\text{-intercepto}=\frac1{b-c},\quad z\text{-intercepto}=\frac1{c-a}.
  1. O sólido T fica então “entre” as três faces paralelas aos planos coordenados e esta face inclinada. Fazemos a mudança de variáveis afim
u=\,(a-b)x,\quad v=(b-c)y,\quad w=(c-a)z,
de modo que a face inclinada vira u+v+w=1, e as outras três faces são
u=(a-b)(c-b),\; v=(b-c)(c-a),\; w=(c-a)(b-a).
Em (u,v,w) notamos que T é um tetraedro cujos vértices projetam-se num tetraedro “padrão” entre planos constantes e a face u+v+w=1.
3. O Jacobiano vale
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} =\frac1{(a-b)(b-c)(c-a)}.
  1. A densidade em (u,v,w) é
\rho =\biggl|\, \Bigl(\frac u{a-b}\Bigr)^{\!a} \Bigl(\frac v{b-c}\Bigr)^{\!a+1} \Bigl(\frac w{c-a}\Bigr)^{\!2b} \biggr| =\frac{|u|^a\,|v|^{a+1}\,|w|^{2b}|}{|(a-b)^{a}(b-c)^{a+1}(c-a)^{2b}|}.
  1. Assim, em (u,v,w) temos
dV =\frac{du\,dv\,dw}{|(a-b)(b-c)(c-a)|},
e a integral de massa e de momentos reduz-se a
\displaystyle\int\!\!\int\!\!\int_{u+v+w\le1,\,u,v,w\ge0} u^{m}\,v^{n}\,w^{p}\,du\,dv\,dw,
cujos valores são produtos de fatoriais via Beta.

Passo 3

Cálculo da massa M
Depois de fatorar constantes fora da integral e usar
\int_{u,v,w\ge0,\;u+v+w\le1} u^{m}\,v^{n}\,(1-u-v)^{p}\,du\,dv = \frac{m!\,n!\,p!}{(m+n+p+2)!},
obtém‐se
M =\iiint_{T}\rho\,dV = \frac{a!\,(a+1)!\,(2b)!}{(2a+2b+4)!} \;\frac{1}{\bigl|(a-b)^{a+1}(b-c)^{a+2}(c-a)^{2b+1}\bigr|}.

Passo 4

Cálculo dos momentos M_x,M_y,M_z
De modo análogo, para os momentos encontramos
M_x =\iiint_{T}x\,\rho\,dV = \frac{(a+1)!\,(a+1)!\,(2b)!}{(2a+2b+5)!} \;\frac{1}{\bigl|(a-b)^{a+2}(b-c)^{a+2}(c-a)^{2b+1}\bigr|},
M_y =\iiint_{T}y\,\rho\,dV = \frac{a!\,(a+2)!\,(2b)!}{(2a+2b+5)!} \;\frac{1}{\bigl|(a-b)^{a+1}(b-c)^{a+3}(c-a)^{2b+1}\bigr|},
M_z =\iiint_{T}z\,\rho\,dV = \frac{a!\,(a+1)!\,(2b+2)!}{(2a+2b+6)!} \;\frac{1}{\bigl|(a-b)^{a+1}(b-c)^{a+2}(c-a)^{2b+2}\bigr|}.

Passo 5

Expressão final do centro de massa
Dividindo cada momento pela massa M dá‐se conta de que vários fatores cancelam, e obtemos:
\bar x =\frac{M_x}{M} =\frac{a+1}{2a+2b+5}\;\frac{1}{a-b}, \qquad \bar y =\frac{M_y}{M} =\frac{a+2}{2a+2b+5}\;\frac{1}{b-c},
\bar z =\frac{M_z}{M} =\frac{2b+2}{(2a+2b+5)(2a+2b+6)}\;\frac{1}{c-a}.
Estas fórmulas valem em módulo — os sinais vêm de \,a-b,\;b-c,\;c-a — mas, como a densidade usa valor absoluto, basta usar o sinal correto de cada denominação para obter as coordenadas reais.

Resposta

\boxed{ \bar x =\frac{a+1}{2a+2b+5}\;\frac{1}{a-b},\quad \bar y =\frac{a+2}{2a+2b+5}\;\frac{1}{b-c},\quad \bar z =\frac{2b+2}{(2a+2b+5)(2a+2b+6)}\;\frac{1}{c-a}. }

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