(30 pontos) Considere a, b, c os três últimos dígitos não nulos de sua matrícula. Seja T o sólido limitado pelos planos x=c-b, y=c-a, z=b-a e pelo plano
(a-b) x+(b-c) y+(c-a) z=1
com densidade variável dada por
\rho(x, y, z)=\left|x^{a} y^{a+1} z^{2 b}\right| .
Calcule o centro de massa do sólido T.
Passo 1
O enunciado define o sólido T como o tetraedro limitado pelas quatro faces
O que precisamos é aplicar o conceito de centro de massa com densidade variável, isto é, calcular
M \;=\;\iiint_{T}\rho\,dV, \quad \bar x \;=\;\frac1M\iiint_{T}x\,\rho\,dV, \quad \bar y \;=\;\frac1M\iiint_{T}y\,\rho\,dV, \quad \bar z \;=\;\frac1M\iiint_{T}z\,\rho\,dV.
Para isso vamos:
(i) parametrizar convenientemente T como um tetraedro padrão via mudança de variáveis afim;
(ii) usar que as integrais de monômios num tetraedro padrão se reduzem a valores de funções Beta (ou fatoriais);
(iii) montar M e os momentos M_x,M_y,M_z;
(iv) obter \bar x,\bar y,\bar z.
Passo 2
Interpretação geométrica e mudança para tetraedro padrão
O sólido T fica então “entre” as três faces paralelas aos planos coordenados e esta face inclinada. Fazemos a mudança de variáveis afim
u=\,(a-b)x,\quad v=(b-c)y,\quad w=(c-a)z,
de modo que a face inclinada vira u+v+w=1, e as outras três faces são
u=(a-b)(c-b),\; v=(b-c)(c-a),\; w=(c-a)(b-a).
Em (u,v,w) notamos que T é um tetraedro cujos vértices projetam-se num tetraedro “padrão” entre planos constantes e a face u+v+w=1.
3. O Jacobiano vale
e a integral de massa e de momentos reduz-se a \displaystyle\int\!\!\int\!\!\int_{u+v+w\le1,\,u,v,w\ge0}
u^{m}\,v^{n}\,w^{p}\,du\,dv\,dw,
cujos valores são produtos de fatoriais via Beta.
Passo 3
Cálculo da massa M
Depois de fatorar constantes fora da integral e usar
Expressão final do centro de massa
Dividindo cada momento pela massa M dá‐se conta de que vários fatores cancelam, e obtemos:
\bar x =\frac{M_x}{M} =\frac{a+1}{2a+2b+5}\;\frac{1}{a-b}, \qquad \bar y =\frac{M_y}{M} =\frac{a+2}{2a+2b+5}\;\frac{1}{b-c},
\bar z =\frac{M_z}{M} =\frac{2b+2}{(2a+2b+5)(2a+2b+6)}\;\frac{1}{c-a}.
Estas fórmulas valem em módulo — os sinais vêm de \,a-b,\;b-c,\;c-a — mas, como a densidade usa valor absoluto, basta usar o sinal correto de cada denominação para obter as coordenadas reais.
Resposta
\boxed{ \bar x =\frac{a+1}{2a+2b+5}\;\frac{1}{a-b},\quad \bar y =\frac{a+2}{2a+2b+5}\;\frac{1}{b-c},\quad \bar z =\frac{2b+2}{(2a+2b+5)(2a+2b+6)}\;\frac{1}{c-a}. }