(7 pontos) Mostre que y_{1}(x)=x^{-1}, x>0, é solução da equação diferencial
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0
Encontre uma função u(x) tal que y_{2}(x)=u(x) y_{1}(x) seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções y_{1}(x) e y_{2}(x) são soluções fundamentais.
Dica: u(x)=\int \frac{e^{-\int p(x) d x}}{y_{1}(x)^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
x^{2}y''+3xy'+y=0
é satisfeita por y_{1}(x)=x^{-1} em x>0, e então achar uma segunda solução da forma y_{2}(x)=u(x)y_{1}(x) usando o método de redução de ordem. Colocando a EDO na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0
dividindo por x^2, fica
y''+\frac{3}{x}y'+\frac{1}{x^2}y=0,
logo
p(x)=\frac{3}{x}.

Passo 2

Vamos verificar que y_{1}(x)=x^{-1} satisfaz a EDO. Calculamos
y_{1}'(x)=-x^{-2},
y_{1}''(x)=2x^{-3}.
Substituindo em x^{2}y''+3xy'+y:
x^{2}\cdot(2x^{-3})+3x\cdot(-x^{-2})+x^{-1} =2x^{-1}-3x^{-1}+x^{-1}=0.
Logo y_{1}(x)=x^{-1} é solução.

Passo 3

Pela dica, tomamos
u(x)=\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Como
\int p(x)\,dx=\int \frac{3}{x}\,dx=3\ln x,\quad e^{-3\ln x}=x^{-3},
e
y_{1}(x)^{2}=(x^{-1})^{2}=x^{-2},
o integrando é
\frac{x^{-3}}{x^{-2}}=x^{-1}.
Portanto
u(x)=\int x^{-1}\,dx=\ln x.

Passo 4

A segunda solução é
y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x)=(\ln x)\,x^{-1}=x^{-1}\ln x.
Pela teoria de redução de ordem, y_{2} satisfaz a EDO.

Passo 5

Para ver que \{y_{1},y_{2}\} é um conjunto de soluções fundamentais, calculamos o wronskiano:
W(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[6pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x^{-1} & x^{-1}\ln x\\[4pt] -\,x^{-2} & \frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\ln x\bigr) \end{vmatrix}.
Como
\frac{d}{dx}(x^{-1}\ln x) =x^{-2}-x^{-2}\ln x,
temos
W(x)=x^{-1}\bigl(x^{-2}-x^{-2}\ln x\bigr) -\,x^{-1}\ln x\cdot(-x^{-2}) =x^{-3}\neq 0\quad\text{para }x>0.
Como o wronskiano é não nulo, y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam uma base de soluções.]

Resposta

As soluções fundamentais da EDO são
y_{1}(x)=x^{-1}, \qquad y_{2}(x)=x^{-1}\ln x.

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