(7 pontos) Mostre que y_{1}(x)=x^{-1}, x>0, é solução da equação diferencial
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0
Encontre uma função u(x) tal que y_{2}(x)=u(x) y_{1}(x) seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções y_{1}(x) e y_{2}(x) são soluções fundamentais.
Dica: u(x)=\int \frac{e^{-\int p(x) d x}}{y_{1}(x)^{2}} d x.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
x^{2}y''+3xy'+y=0
é satisfeita por y_{1}(x)=x^{-1} em x>0, e então achar uma segunda solução da forma y_{2}(x)=u(x)y_{1}(x) usando o método de redução de ordem. Colocando a EDO na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0
dividindo por x^2, fica
y''+\frac{3}{x}y'+\frac{1}{x^2}y=0,
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p(x)=\frac{3}{x}.
Passo 2
Vamos verificar que y_{1}(x)=x^{-1} satisfaz a EDO. Calculamos