(40 pontos) Calcule a média da função
f(x, y, z)=\frac{(x+z+1) z}{2 y \ln (y)}
sobre o sólido S delimitado por
0 \leq \frac{x+z+1}{\ln (y)} \leq 1
e
(x+z+1)^{2}+(\ln (y))^{2}+\frac{z^{2}}{4} \leq 1

Passo 1

O enunciado pede a média da função
f(x,y,z)=\frac{(x+z+1)\,z}{2\,y\,\ln(y)}
no sólido S definido por
0 \le \frac{x+z+1}{\ln(y)} \le 1, \qquad (x+z+1)^{2}+(\ln(y))^{2}+\frac{z^{2}}{4}\le1.
Vamos usar a fórmula da média em três variáveis e um cambio de variáveis que simplifica a descrição de S.

Passo 2

A média de f sobre S é
\bar f =\frac{1}{\mathrm{Vol}(S)} \int_{S}f(x,y,z)\,dV.
Nosso objetivo principal será mostrar que o numerador \displaystyle \int_{S}f\,dV
é zero, pois o denominador \mathrm{Vol}(S) é positivo e finito.

Passo 3

Definimos o cambio de variáveis
U = x + z + 1,\quad V = \ln(y),\quad W = \frac{z}{2}.
Então
x = U -2W -1, \quad y = e^{V}, \quad z = 2W.
A Jacobiana desse cambio é
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(U,V,W)} =\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ 0 & e^{V} & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} =2\,e^{V}.
Logo
dV = dx\,dy\,dz = 2\,e^{V}\,dU\,dV\,dW.

Passo 4

Em (U,V,W) o sólido S fica
U^{2}+V^{2}+W^{2}\le1, \qquad 0\le \frac{U}{V}\le1.
Além disso,
f(x,y,z) =\frac{U\,(2W)}{2\,e^{V}\,V} =\frac{U\,W}{e^{V}\,V}.
Portanto, no numerador da média
\int_{S}f\,dV =\int_{B} \frac{U\,W}{e^{V}\,V}\; 2\,e^{V}\,dU\,dV\,dW =2\int_{B}\frac{U\,W}{V}\,dU\,dV\,dW,
onde B=\{(U,V,W):U^{2}+V^{2}+W^{2}\le1,\\\ 0\le U/V\le1\}.

Passo 5

Note que a condição 0\le U/V\le1 envolve apenas U e V, e não depende de W. Assim o conjunto B é simétrico em relação a W\to -W.

Passo 6

A função integrando em B é \displaystyle \frac{U\,W}{V},
que é ímpar em W. Como o domínio de integração é simétrico em W, a integral se anula:
\int_{B}\frac{U\,W}{V}\,dU\,dV\,dW =0.
Logo o numerador da média é zero.

Passo 7

Como \displaystyle \int_{S}f\,dV=0
e \mathrm{Vol}(S)>0, concluímos
\bar f = \frac{1}{\mathrm{Vol}(S)}\int_{S}f\,dV = 0.

Resposta

A média de f sobre S é 0.

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