(40 pontos) Calcule a média da função
sobre o sólido
delimitado por
e
Passo 1
O enunciado pede a média da função
no sólido
definido por
Vamos usar a fórmula da média em três variáveis e um cambio de variáveis que simplifica a descrição de
.
Passo 2
A média de
sobre
é
Nosso objetivo principal será mostrar que o numerador
é zero, pois o denominador é positivo e finito.
é zero, pois o denominador
Passo 3
Definimos o cambio de variáveis
Então
A Jacobiana desse cambio é
Logo
Passo 4
Em
o sólido
fica
Além disso,
Portanto, no numerador da média
onde
.
Passo 5
Note que a condição
envolve apenas
e
, e não depende de
. Assim o conjunto
é simétrico em relação a
.
Passo 6
A função integrando em
é
,
que é ímpar em . Como o domínio de integração é simétrico em
, a integral se anula:
que é ímpar em
Logo o numerador da média é zero.
Passo 7
Como
e , concluímos
e
Resposta
A média de
sobre
é
.