Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias:
y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem
y'' + \bigl(y'\bigr)^{2} = 0.
Perceba que não aparece y isolado, apenas suas derivadas, o que sugere usar a redução de ordem via p=y'.

Passo 2

Seja p=y'. Então p'=y'' e a equação fica
p' + p^{2} = 0,
ou seja,
\frac{dp}{dx} = -\,p^{2}.
Trata-se de uma equação de primeira ordem separável em p e x.

Passo 3

Separe as variáveis e integre:
\int \frac{dp}{p^{2}} \;=\; -\int dx.
A integral no lado esquerdo é \int p^{-2}dp = -\,p^{-1}, logo
-\,\frac{1}{p} = -\,x + C_{1}.
Multiplicando por -1 e invertendo, obtemos
\frac{1}{p} = x - C_{1}, \qquad p = \frac{1}{\,x - C_{1}\,}.

Passo 4

Voltando a y', temos
y' = \frac{1}{\,x - C_{1}\,}.
Basta agora integrar em x:
y = \int \frac{1}{\,x - C_{1}\,}\,dx = \ln\bigl|x - C_{1}\bigr| + C_{2},
onde C_{2} é a segunda constante de integração.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \ln\bigl|x - C_{1}\bigr| + C_{2},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados