Considere a função periódica de período 2 que no intervalo [0,1] é definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{rr} -x, \text { se } & -1 \leq x \leq 0 \\\ x, \text { se } & 0 \leq x \leq 1 \end{array}\right.
a) Calcule a série de Fourier de f.
b) Calcule os valores da série acima nos pontos x=0, e x=2.
c) Use o item (b) para mostrar que \frac{\pi^{2}}{8}=1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\cdots
{ }^{1} Compilada pelo professor Francisco Fortes de Brito
Passo 1
O enunciado dá uma função periódica de período 2 que em [-1,0] vale f(x)=-x e em [0,1] vale f(x)=x. Queremos obter a série de Fourier de período 2, depois avaliar essa série em x=0 e x=2 e, por fim, usar esse resultado para chegar à soma
1+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8}.
O conteúdo envolvido é a expansão em série de Fourier para funções pares (ou seja, só termos de cosseno).
Passo 2
Como f é par, todos os coeficientes de seno b_n são nulos e sobra calcular