Considere a função periódica de período 2 que no intervalo [0,1] é definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{rr} -x, \text { se } & -1 \leq x \leq 0 \\\ x, \text { se } & 0 \leq x \leq 1 \end{array}\right.
a) Calcule a série de Fourier de f.
b) Calcule os valores da série acima nos pontos x=0, e x=2.
c) Use o item (b) para mostrar que
\frac{\pi^{2}}{8}=1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\cdots

  1. { }^{1} Compilada pelo professor Francisco Fortes de Brito

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica de período 2 que em [-1,0] vale f(x)=-x e em [0,1] vale f(x)=x. Queremos obter a série de Fourier de período 2, depois avaliar essa série em x=0 e x=2 e, por fim, usar esse resultado para chegar à soma
1+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8}.
O conteúdo envolvido é a expansão em série de Fourier para funções pares (ou seja, só termos de cosseno).

Passo 2

Como f é par, todos os coeficientes de seno b_n são nulos e sobra calcular
a_0=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx, \quad a_n=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx.
Primeiro
a_0=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =2\int_{0}^{1}x\,dx =2\cdot\frac12=1.
Logo o termo constante na série é a_0/2=1/2.

Passo 3

Para n\ge1 usaremos a paridade para escrever
a_n =2\int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx.
Fazendo integração por partes com u=x, dv=\cos(n\pi x)\,dx, obtemos
\int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx =\Bigl[\frac{x\sin(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{0}^{1} +\Bigl[\frac{\cos(n\pi x)}{(n\pi)^2}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}.
Portanto
a_n =2\;\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2} =\begin{cases} 0,&n\text{ par},\\\\ -\dfrac{4}{n^2\pi^2},&n\text{ ímpar}. \end{cases}í

Passo 4

A série de Fourier de f fica então
f(x) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(n\pi x) =\frac12 -\frac{4}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k+1)\pi x\bigr)}{(2k+1)^2}.

Passo 5

Nos pontos x=0 e x=2 temos \cos\bigl((2k+1)\pi x\bigr)=1, e como f(0)=0 (continuidade em 0) e f(2)=f(0)=0, a série satisfaz
0 =\frac12 -\frac{4}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}.
Isolando a soma resulta
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2} =\frac{\pi^2}{8}.

Resposta

a)
f(x) =\frac12 -\frac{4}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k+1)\pi x\bigr)}{(2k+1)^2}.
b) Nos pontos x=0 e x=2, a série converge a 0.
c) Da igualdade
0 =\frac12 -\frac{4}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}
vem
1+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\cdots =\frac{\pi^2}{8}.

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