calcule as integrais usando substituição, integração por partes ou ambos métodos. \int_{1}^{3} \mathrm{r}^{3} \ln (\mathrm{r}) \mathrm{dr}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{3} r^{3}\ln(r)\,dr.
Informações dadas:
O integrando é r^{3}\ln(r).
Os limites são r=1 e r=3.
Devemos usar substituição, integração por partes ou ambos.
Aqui só há uma integral definida a calcular.
Passo 2
Qual método usar e por quê? Vou usar o método da integração por partes. Vou explicar a ideia antes de aplicar: a fórmula de integração por partes para primitivadas diz
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são partes do integrando que escolhemos, du é a derivada de u vezes dr e v é uma primitiva de dv. Em integrais definidas a mesma fórmula vale com avaliação nos limites:
Por que escolher integração por partes aqui? Porque o produto é de uma função logarítmica \ln(r) com um polinômio r^3. A regra prática é escolher u a parte que fica mais simples ao derivar — aqui \ln(r) simplifica ao derivarmos — e escolher dv a parte que seja fácil de integrar — aqui r^3\,dr é fácil. Portanto escolhemos u=\ln(r) e dv=r^{3}\,dr.
Passo 3
Definimos as partes e calculamos du e v:
Seja u=\ln(r). Então du = \dfrac{d}{dr}\ln(r)\,dr = \dfrac{1}{r}\,dr.
Seja dv = r^{3}\,dr. Então v é uma primitiva de r^{3}, ou seja
v=\int r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4}.
Aqui explico: integrar um polinômio r^{n} dá \dfrac{r^{n+1}}{n+1}, por isso \int r^{3}\,dr=\dfrac{r^{4}}{4}.
Passo 4
Aplicamos a fórmula da integração por partes na forma definida: