calcule as integrais usando substituição, integração por partes ou ambos métodos.
\int_{1}^{3} \mathrm{r}^{3} \ln (\mathrm{r}) \mathrm{dr}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{3} r^{3}\ln(r)\,dr.
Informações dadas:
  • O integrando é r^{3}\ln(r).
  • Os limites são r=1 e r=3.
  • Devemos usar substituição, integração por partes ou ambos.
    Aqui só há uma integral definida a calcular.

Passo 2

Qual método usar e por quê? Vou usar o método da integração por partes. Vou explicar a ideia antes de aplicar: a fórmula de integração por partes para primitivadas diz
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são partes do integrando que escolhemos, du é a derivada de u vezes dr e v é uma primitiva de dv. Em integrais definidas a mesma fórmula vale com avaliação nos limites:
\int_{a}^{b} u\,dv = \left[uv\right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v\,du.
Por que escolher integração por partes aqui? Porque o produto é de uma função logarítmica \ln(r) com um polinômio r^3. A regra prática é escolher u a parte que fica mais simples ao derivar — aqui \ln(r) simplifica ao derivarmos — e escolher dv a parte que seja fácil de integrar — aqui r^3\,dr é fácil. Portanto escolhemos u=\ln(r) e dv=r^{3}\,dr.

Passo 3

Definimos as partes e calculamos du e v:
  • Seja u=\ln(r). Então du = \dfrac{d}{dr}\ln(r)\,dr = \dfrac{1}{r}\,dr.
  • Seja dv = r^{3}\,dr. Então v é uma primitiva de r^{3}, ou seja
v=\int r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4}.
Aqui explico: integrar um polinômio r^{n} \dfrac{r^{n+1}}{n+1}, por isso \int r^{3}\,dr=\dfrac{r^{4}}{4}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes na forma definida:
\int_{1}^{3} r^{3}\ln(r)\,dr = \left[\ln(r)\cdot\frac{r^{4}}{4}\right]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4}\cdot\frac{1}{r}\,dr.
Simplifico o integrando da segunda parcela:
\frac{r^{4}}{4}\cdot\frac{1}{r} = \frac{r^{3}}{4}.
Portanto
\int_{1}^{3} r^{3}\ln(r)\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\ln(r)\right]_{1}^{3} - \frac{1}{4}\int_{1}^{3} r^{3}\,dr.

Passo 5

Agora calculo a integral restante \int_{1}^{3} r^{3}\,dr. Usando a primitiva de r^{3} já vista,
\int_{1}^{3} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{1}^{3} = \frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4} = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20.
Substituo na expressão do passo anterior:
\int_{1}^{3} r^{3}\ln(r)\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\ln(r)\right]_{1}^{3} - \frac{1}{4}\cdot 20.

Passo 6

Avalio o termo de fronteira \left[\dfrac{r^{4}}{4}\ln(r)\right]_{1}^{3}:
\left.\frac{r^{4}}{4}\ln(r)\right|_{1}^{3} = \frac{3^{4}}{4}\ln(3) - \frac{1^{4}}{4}\ln(1).
Lembrando que \ln(1)=0, o segundo termo some. Então
\left[\frac{r^{4}}{4}\ln(r)\right]_{1}^{3} = \frac{81}{4}\ln(3).
Agora calcule a subtração final:
\int_{1}^{3} r^{3}\ln(r)\,dr = \frac{81}{4}\ln(3) - \frac{1}{4}\cdot 20 = \frac{81}{4}\ln(3) - 5.

Resposta

\displaystyle \frac{81}{4}\ln(3) - 5

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