Um fluido incompressível escoa em regime permanente na região de entrada de um canal bidimensional de altura 2 h . A velocidade uniforme na entrada do canal é U_{1}=7,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A distribuição de velocidades numa seção a jusante é
\frac{u}{u_{\max }}=1-\left[\frac{y}{h}\right]^{2}
Avalie a velocidade máxima na seção a jusante. Calcule a queda de pressão que existiria no canal se o atrito nas paredes fosse desprezível.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento bidimensional em regime permanente de um fluido incompressível num canal de altura 2h. Na entrada, a velocidade é uniforme \;U_1=7,5\\ \mathrm{m/s}. Mais adiante, a distribuição de velocidades é parabólica, dada por
\frac{u}{u_{\max}}=1 - \Bigl(\frac{y}{h}\Bigr)^{2}.
Queremos (a) determinar u_{\max} na seção a jusante usando a conservação de massa e (b) calcular a queda de pressão \Delta p = p_1 - p_2 supondo atrito desprezível, aplicando a equação de Bernoulli corrigida pelo coeficiente de energia cinética \alpha.

Passo 2

Pela conservação de massa, o fluxo volumétrico é o mesmo na entrada e na saída. Tomando y\in[-h,h] e largura unitária do canal, a vazão é
Q = U_1\,(2h) = \int_{-h}^{h} u\,dy = \int_{-h}^{h} u_{\max}\Bigl(1 - \frac{y^2}{h^2}\Bigr)\,dy.
Fazendo \eta=y/h,
\int_{-h}^{h}\Bigl(1-\eta^{2}\Bigr)h\,d\eta = h\Bigl[2 - 2\cdot\frac{1}{3}\Bigr] = \frac{4h}{3},
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Q = u_{\max}\,\frac{4h}{3} \quad\Longrightarrow\quad U_1\,(2h)=u_{\max}\,\frac{4h}{3} \quad\Longrightarrow\quad u_{\max}=\frac{3}{2}\,U_1.
Substituindo U_1=7,5\\ \mathrm{m/s} obtém-se
u_{\max} = \frac{3}{2}\times7,5 = 11{,}25\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Para escoamentos com perfil não uniforme, usa-se na equação de Bernoulli o coeficiente de energia cinética
\alpha = \frac{\displaystyle\int_A u^3\,dA}{U_{\rm m}^3\,A},
onde U_{\rm m}=Q/A é a velocidade média. Na entrada o perfil é uniforme, logo \alpha_1=1. Na saída,
\int_{-h}^{h}u^3\,dy = u_{\max}^3\,h\int_{-1}^{1}(1-\eta^2)^3\,d\eta = u_{\max}^3\,h\;\frac{32}{35}
e A=2h,\;U_{\rm m}=U_1. Assim
\alpha_2 =\frac{u_{\max}^3\,h\,(32/35)}{(2h)\,U_1^3} =\frac{32}{35}\,\frac{u_{\max}^3}{2\,U_1^3} =\frac{32}{35}\,\frac{(3/2)^3}{2} =\frac{54}{35}\approx1{,}543.

Passo 4

Aplicando Bernoulli entre entrada (1) e saída (2) sem atrito,
\frac{p_1}{\rho} + \alpha_1\frac{U_1^2}{2} = \frac{p_2}{\rho} + \alpha_2\frac{U_1^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad p_1 - p_2 =\frac{\rho}{2}\,U_1^2\,(\alpha_2 - \alpha_1).
Como \alpha_1=1 e \alpha_2=54/35, tem-se
\Delta p = p_1 - p_2 =\frac{\rho}{2}\,U_1^2\Bigl(\frac{54}{35}-1\Bigr) =\frac{\rho}{2}\,U_1^2\,\frac{19}{35}.
Para água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e U_1=7{,}5\\ \mathrm{m/s},
\Delta p = \frac{1000}{2}\,7{,}5^2\,\frac{19}{35} \approx1{,}53\times10^4\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

uₘₐₓ =11,25 m/s
Δp = (ρ/2) \cdot 7,5^{2}\cdot(19/35) \approx 1,53\times 10^{4} Pa (para \rho=1000 kg/ m^{3})

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