(30 pontos) Determine o campo eletrostâtico produzido por un disco de raio a e espessura desprezivel, uniformemente carregado (carga total Q ), ao longo do seu eixo de simetrin axial (eixa Z).

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico ao longo do eixo z de um disco de raio a e espessura desprezível, com carga total Q distribuída uniformemente. O conteúdo aqui é campo elétrico de uma distribuição superficial, e vamos usar a Lei de Coulomb, o princípio da superposição e aproveitando a simetria axial.

Passo 2

Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade superficial de carga é sigma=Q/(pi a^2). Para aplicar superposição, modelamos o disco como uma soma de anéis concêntricos de raio r e espessura dr. Cada anel carrega dq=sigma,2pi r,dr.

Passo 3

O campo produzido por um anel de raio r e carga dq, no ponto do eixo a uma distância z do plano do anel, só tem componente axial, de módulo:

Passo 4

dE(z)=14pivarepsilon0,dq,z(z^2+r^2)^3/2

Passo 5

Substituindo dq=sigma,2pi r,dr e integrando de r=0 até r=a, usando superposição, obtemos

Passo 6

E(z)=integral0^a dE(z)=sigma z2varepsilon0integral0^ar,dr(z^2+r^2)^3/2

Passo 7

Para resolver a integral, note que

Passo 8

integral0^ar,dr(z^2+r^2)^3/2=l[-1raizz^2+r^2r]0^a=1z-1raizz^2+a^2

Passo 9

Logo, em função de sigma temos

Passo 10

E(z)=sigma2varepsilon0l(1-zraizz^2+a^2r)

Passo 11

Finalmente, substituindo sigma=Q/(pi a^2), encontramos o campo em função de Q.

Resposta

E(z)=Q2pi a^2,varepsilon0l(1-zraizz^2+a^2r)hat z

Exercícios relacionados