Considere um elétron em uma caixa unidimensional de comprimento
. Esse elétron é representado pela função de onda normalizada abaixo (
).
Mostre que as funções para os estados
e
são ortogonais.
Passo 1
O enunciado dá as funções de onda normalizadas para um elétron num poço infinito unidimensional de comprimento
:
Precisamos mostrar que os estados
e
são ortogonais, ou seja, que o produto interno
é zero.
é zero.
Passo 2
Escrevemos explicitamente o produto interno:
Passo 3
Aplicamos a identidade trigonométrica
com
e
. Assim
Passo 4
Calculamos cada integral de cosseno:
Logo o integrando da etapa anterior também vale zero.
Passo 5
Multiplicando pelo fator
obtemos
Isso prova que os estados
e
são ortogonais.
Resposta
As funções
e
são ortogonais porque
.