Considere um elétron em uma caixa unidimensional de comprimento L=2,00 nm. Esse elétron é representado pela função de onda normalizada abaixo ( Psin(x) ).
Psin(x)=raiz2L sen n piL x
Mostre que as funções para os estados n=2 e n=3 são ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá as funções de onda normalizadas para um elétron num poço infinito unidimensional de comprimento L:
Psin(x)=raiz2Lsin!l(tfracnpi xLr)
Precisamos mostrar que os estados n=2 e n=3 são ortogonais, ou seja, que o produto interno
integral0^LPsi2(x),Psi3(x),dx
é zero.

Passo 2

Escrevemos explicitamente o produto interno:
integral0^LPsi2(x),Psi3(x),dx =2Lintegral0^Lsin!l(tfrac2pi xLr), sin!l(tfrac3pi xLr),dx

Passo 3

Aplicamos a identidade trigonométrica
sin A,sin B =tfrac12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]
com A=tfrac2pi xL e B=tfrac3pi xL. Assim
integral0^Lsin!l(tfrac2pi xLr)sin!l(tfrac3pi xLr),dx =tfrac12integral0^Ll[cos!l(tfracpi xLr) -cos!l(tfrac5pi xLr)r],dx

Passo 4

Calculamos cada integral de cosseno:
integral0^Lcos!l(tfracpi xLr),dx =l[tfracLpisin!l(tfracpi xLr)r]0^L =tfracLpil(sinpi-sin0r)=0,
integral0^Lcos!l(tfrac5pi xLr),dx =l[tfracL5pisin!l(tfrac5pi xLr)r]0^L =tfracL5pil(sin5pi-sin0r)=0
Logo o integrando da etapa anterior também vale zero.

Passo 5

Multiplicando pelo fator tfrac2L obtemos
integral0^LPsi2(x),Psi3(x),dx =2Ltimes0=0
Isso prova que os estados n=2 e n=3 são ortogonais.

Resposta

As funções Psi2(x) e Psi3(x) são ortogonais porque
integral0^LPsi2(x),Psi3(x),dx=0.

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