(30 pontos) (a) Determine se a série
converge ou diverge.
(b) Considere a série
(i) Justifique brevemente por que termos que acompanham a
são positivos.
(ii) Assumindo que os termos que acompanham a
são decrescentes, determine se a série converge ou diverge.
(b) Considere a série
(i) Justifique brevemente por que termos que acompanham a
(ii) Assumindo que os termos que acompanham a
Passo 1
O enunciado trata de séries numéricas. Na parte (a) temos uma série de sinais positivos e vamos usar comparação assintótica com uma
-série. Na parte (b) é uma série alternada e vamos aplicar o critério de Leibniz, que exige termos positivos, decrescentes e com limite zero.
Passo 2
Para a série
observamos que, para
grande,
e
Como
é uma
-série com
, ela diverge. Pelo teste de comparação assintótica, a dada série também diverge.
Logo, a série da parte (a) diverge.
Logo, a série da parte (a) diverge.
Passo 3
Na parte (b) definimos
e consideramos a série
(i) Cada
é positivo porque
e
.
(ii) Assumindo que é decrescente e notando ainda que
(ii) Assumindo que
então, pelos requisitos do critério de Leibniz (termos positivos, decrescentes e que tendem a zero), a série alternada converge.
Resposta
(a) A série diverge.
(b)(i) Cada termo que acompanha é positivo porque
e
.
(b)(ii) A série converge, por critério de Leibniz.
(b)(i) Cada termo que acompanha
(b)(ii) A série converge, por critério de Leibniz.