(30 pontos) (a) Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n-1} converge ou diverge.
(b) Considere a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{\sqrt{n^{3}+2}}
(i) Justifique brevemente por que termos que acompanham a (-1)^{n} são positivos.
(ii) Assumindo que os termos que acompanham a (-1)^{n} são decrescentes, determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado trata de séries numéricas. Na parte (a) temos uma série de sinais positivos e vamos usar comparação assintótica com uma p-série. Na parte (b) é uma série alternada e vamos aplicar o critério de Leibniz, que exige termos positivos, decrescentes e com limite zero.

Passo 2

Para a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n - 1}
observamos que, para n grande, n-1\sim n e
\frac{\sqrt{n}}{n-1}\sim \frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}.
Como \sum 1/\sqrt{n} é uma p-série com p=\tfrac12\le1, ela diverge. Pelo teste de comparação assintótica, a dada série também diverge.
Logo, a série da parte (a) diverge.

Passo 3

Na parte (b) definimos
a_n = \frac{n}{\sqrt{n^3+2}}
e consideramos a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\,a_n.
(i) Cada a_n é positivo porque n>0 e \sqrt{n^3+2}>0.
(ii) Assumindo que (a_n) é decrescente e notando ainda que
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{3/2}\sqrt{1+2/n^3}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1/2}}=0,
então, pelos requisitos do critério de Leibniz (termos positivos, decrescentes e que tendem a zero), a série alternada converge.

Resposta

(a) A série diverge.
(b)(i) Cada termo que acompanha (-1)^n é positivo porque n>0 e \sqrt{n^3+2}>0.
(b)(ii) A série converge, por critério de Leibniz.

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